1. SABC - пирамида, АВ = ВС = √5, АС = 4.
Пусть SO - высота пирамиды, тогда АО, ВО и СО - проекции боковых ребер на плоскость основания, а углы SAO, SBO и SCO - углы наклона боковых ребер к основанию и равны 45°. Тогда ΔSAO = ΔSBO = ΔSCO по катету (общий SO) и острому углу.
Значит АО = ВО = СО, значит О - центр описанной около АВС окружности.
Стоит запомнить: Если боковые ребра пирамиды равны или наклонены под одним углом к основанию, то высота проецируется в центр окружности, описанной около основания.
Так как треугольник АВС равнобедренный, О лежит на высоте ВН, проведенной к основанию. ВН является и медианой: АН = 2.
ΔАВН: ∠АНВ = 90°, по теореме Пифагора
ВН = √(АВ² - АН²) = √(5 - 4) = 1, ⇒
sin∠BAH = BH / AB = 1/√5
По следствию из теоремы синусов:
2R = BC / sin∠BAH = √5 / (1/√5) = 5
R = 5/2 = 2,5, т.е. ВО = 2,5
ΔSBO прямоугольный с углом 45°, значит равнобедренный:
SO = BO = 2,5
V = 1/3 Sосн · SO = 1/3 · (1/2 AC · BH) · SO
V = 1/3 · 1/2 · 4 · 1 · 2,5 = 5/3 куб. ед.
Так как ВО больше ВН, центр описанной около треугольника АВС окружности лежит вне треугольника. Чертеж пришлось уточнить.
2. Если боковые ребра пирамиды равны, то высота проецируется в центр окружности, описанной около основания. О лежит на высоте ΔАВС, так как он равнобедренный.
ВН - высота и медиана, ⇒ АН = СН = АВ/2 = 3 см.
ΔАВН: ∠АНВ = 90°, по теореме Пифагора
АВ = √(ВН² + АН²) = √(81 + 9) = √90 = 3√10 см.
sin∠BAH = BH/AB = 9/(3√10) = 3/√10
По следствию из теоремы синусов:
2R = BC / sin∠BAH = 3√10 / (3/√10) = 10
R = 10/2 = 5 см, т.е. ВО = 5 см
ΔSOB: ∠SOB = 90°, по теореме Пифагора
SO = √(SB² - BO²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см
V = 1/3 Sосн · SO = 1/3 · (1/2 AC · BH) · SO
V = 1/3 · 1/2 · 6 · 9 · 12 = 108 см³
Задано Вершини трикутника ABC A(-5,1), B(3,-2), C(3,4).
Знайти:
1) Координати описаного кола. Это задание надо, скорее всего, понимать так: найти уравнение окружности, описанной около треугольника АВС.
Для этого надо определить координаты центра этой окружности и найти её радиус.
Решение возможно по нескольким вариантам.
Вот один из них.
Центр описанной окружности находится как точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника.
Есть формула, по которой сразу определяется уравнение серединного перпендикуляра по координатам вершин:
(x_1-x_2 )(x-(x_1+x_2)/2)+(y_1-y_2 )(y-(y_1+y_2)/2)=0.
Находим уравнение серединного перпендикуляра к стороне АВ.
Подставим координаты вершин А и В.
(-5-3)(x – ((-5+3)/2) + (1-(-2))(y – (1+(-2))/2) = 0,
-8(x + 1) + 3(y + (1/2)) = 0,
-8x – 8 + 3y + (3/2) = 0, умножим на (-2) и получаем уравнение:
16х – 6у + 13 = 0.
Второй перпендикуляр определяется просто, так как сторона ВС, имеющая точки с одинаковыми абсциссами, - это вертикальный отрезок прямой х = 3 между ординатами у = -2 и у = 4.
Середина её равна у = (-2+4)/2 = 1.
Значит, серединный перпендикуляр к стороне ВС – это горизонтальная прямая у = 1.
Находим их точку пересечения, подставив в уравнение первой прямой значение у = 1:
16х – 6*1 + 13 = 0, отсюда х = -7/16.
Получены координаты центра описанной окружности: О((-7/16); 1).
Далее надо найти радиус окружности.
Он равен расстоянию от центра окружности до любой вершины.
Находим R = OA = √((-5-(-7/16))² + (1-1)²) = 73/16 = 4,5625.
ответ: уравнение окружности (x + (7/16))² + (y – 1)² = (73/16)².
2) косинус кута BAC.
Находим векторы АВ и АС.
AB = {Bx - Ax; By - Ay} = {3 – (-5); -2 - 1} = {8; -3},
AC = {Cx - Ax; Cy - Ay} = {3 – (-5); 4 - 1} = {8; 3}.
Модули векторов равны:
|AB| = √(ABx2 + ABy2) = √(82 + (-3)2) = √(64 + 9) = √73,
|AC| = √(ACx2 + ACy2) = √(82 + 32) = √64 + 9 = √73.
ответ: cos(AB_AC) = (8*8 + (-3)*3)/(√73*√73) = 55/73 ≈ 0,7534.
Угол А равен 0,7175 радиан или 41,1121 градуса.
3) Координати точки D, яка ділить відрізок BC у відношенні до 2:3.
Для этого задания применяется формула:
x(D)=(x(B) + λ*x(C))/(1 + λ), где λ – отношение длин отрезков.
Получаем: x(D)=(3 + (2/3)*3)/(1 + (2/3)) = 3.
y(D)=(-2 + (2/3)*4)/(1 + (2/3)) = 2/5 = 0,4.
ответ: точка D(3; 0,4).