Точки m и n - середины рёбер соответственно cd и cc₁, параллелепипеда abcda₁b₁c₁d₁. а) докажите, что плоскость amn проходит через вершину b₁. б) найдите угол между плоскостями amn и a₁b₁c₁, если параллелепипед прямоугольный, а его диагональ bd₁ перпендикулярна плоскости amn.
Решение:
В на MN,
C на NK
А на МК -делят стороны треугольника на равные части ( пополам) и потому
АВ и АС - средние линии этого треугольника.
Отсюда следует их параллельность соответственным сторонам.
Из равенства углов, образованных при параллельных прямых секущей,
следует, что
∠ МВА=∠МNK
∠ACK=∠MNК
.Если два угла по отдельности равны третьему - они равны между собой.
∠ MBA = ∠ KCA, что и требовалось доказать.
См. рисунки. Рисунок 1 - по условию.
Рисунок 2 - как иллюстрация решения для любого треугольника.