Т.к. диагональ AP параллелограмма AOPT разбивает его на два равных треугольника, то
Т.к. OP - медиана в ΔAOD, то она разбивает его на два равновеликих треугольника ⇒
Отсюда:
Площадь прямоугольного треугольника найдем как полупроизведение катетов, которые являются половинами диагоналей ромба (точка O делит диагонали ромба пополам:
Из прямоугольного ΔAOD найдем его гипотенузу:
Т.к P - середина стороны AD, то AP = AD / 2 = 10 / 2 = 5
Для параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:
Площадь параллелограмма равна также полупроизвведению диагоналей на синус угла между ними:
По основному тригонометрическому тождеству найдем косинус угла между диагоналями по известному синуса угла:
Свойство касательных к окружности, проведенной из одной точки:
отрезки касательных равны.
х-радиус вписанной окружности
(см. рисунок в приложении)
Учитывая, что периметр равен 54, составляем уравнение:
х+х+х+х+3+3+12+12=54
4х+30=54
4х=24
х=6
2. Из условия:
∠С=х
∠А=4х
∠В=4х-58°
Так как четырехугольник вписан в окружность, то
∠А+∠С=180°
∠В+∠Д=180°
4х+х=180°
5х=180°
х=36°
Тогда
∠С=36°
∠А=4х=4·36°=144°
∠В=4х-58°=144°-58°=86°
∠В+∠Д=180° ⇒ ∠Д=180°-∠В=180°-86°=94°
ответ. ∠А=144°
∠В=86°
∠С=36°
∠Д=94°