Центр описанной вокруг треугольника окружности - точка пересечения срединных перпендикуляров. В правильном треугольнике срединные перпендикуляры - и высоты, и медианы, и биссектрисы.
Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1
Радиус вписанной окружности правильного треугольника =1/3 медианы ( высоты)
Радиус описанной окружности правильного треугольника =2/3 медианы ( высоты
Это - вступления для того, чтобы вспомнить, если забыто.
Радиус описанной окружности правильного треугольника=2/3 его медианы.
2/3=10
3/3=15
Медиана =15
В правильном треугольнике длины медианы, высоты, биссектрисы равны.
Выразим длину стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности:
По теореме о вписанном угле окружности: угол между радиусами стягивающимиодну из сторон треугольника равен 120 градусам.
По теореме косинусов найдем сторону треугольника:
a^2 = 2r^2-2r^2*cos(120) = 2r^2(1+1/2) = 3r^2
a = r*3^0.5
Найдем медиану, помножив сторону треугольника на sin(60):
m = a*sin(60) = a*3^(0.5)/2 = r*3/2 = r*1.5
m = 10*1.5 = 15 - длина медианы.