Дано многокутник зі стороною a і висотою h, проведеною до цієї сторони. Укажіть формулу, за якою обчислюється площа S цього многокутника, якщо він є трикутником.
Дана пирамида МАВС, Δ АВС- правильный: АВ=ВС=АС. Пусть АВ=ВС=АС=а, Площадь равностороннего треугольника S=1/2·a·а·sin 60⁰=a²√3/4 МО- высота пирамиды, O- центр описанной окружности. В равностороннем треугольнике центр описанной и центр вписанной окружности совпадают, поэтому ВО=R, OK=r Так как S=p·r, выразим r через а: r=a²√3/4 : (а+а+а)/2=а²√3/6. Проведем апофему МК. МК перпендикулярна АС по теореме о треёх перпендикулярах, так как ОК перпендикуляр к АС. Рассмотрим прямоугольный треугольник МОК, проведем перпендикуляр ОЕ. Угол МОЕ=β. Треугольники МОЕ и МОК - прямоугольные, угол ОМК -общий. Значит треугольники подобны по двум углам. Угол ОКМ =β, tg OKM=MO/OK MO=OK·tgβ=a√3·tgβ/6 Тогда объём пирамиды
V=1/3· S·MO=1/3 · a²√3/4 · а√3 ·tg β/6=a³·tgβ /24 Так как V известен, то выразим а через V и tg β a=∛(24·V/ tgβ) Подставим найденное значение а в выражение площади через сторону а: S=a²√3/4=∛(24·V/tgβ)² ·√3/4, так как ∛(24)²=4·∛9, то ответ упрощается;
Треугольник АВС, точка М внутри треугольника. Продолжим BM до пересечения со стороной AC в точке N. Тогда AB+AN > BN=BM+MN MN+NC>MC. Сложив почленно эти неравенства, получим: AB+AN+NC+MN > MN+BM+MC, или AB+AC+MN > BM+MC+MN. Отсюда следует, что AB+AC > BM+MC. Исходя из этогои следует, что для точки M , лежащей внутри треугольника ABC, верны неравенства: MB+MC < AB+AC, MB+MA < AC+BC, MA+MC < AB+BC. Сложив их почленно, получим 2(MA+MB+MC)<2(AB+BC+AC). Отсюда следует, что указанная сумма расстояний меньше периметра треугольника: (MA+MB+MC)<Р. Применяя неравенство треугольника к треугольникам AMC, BMC и AMB, получим AM+MC>AC, BM+MC > BC AM+MB > AB, Сложив их почленно, получим: Откуда 2(AM+BM+CM)>(AB+AC+BC). AM+BM+CM>1/2(AB+AC+BC). Указанная сумма расстояний больше полупериметра треугольника: AM+BM+CM>1/2Р
Пусть АВ=ВС=АС=а,
Площадь равностороннего треугольника S=1/2·a·а·sin 60⁰=a²√3/4
МО- высота пирамиды, O- центр описанной окружности.
В равностороннем треугольнике центр описанной и центр вписанной окружности совпадают, поэтому ВО=R, OK=r
Так как S=p·r, выразим r через а:
r=a²√3/4 : (а+а+а)/2=а²√3/6.
Проведем апофему МК. МК перпендикулярна АС по теореме о треёх перпендикулярах, так как ОК перпендикуляр к АС.
Рассмотрим прямоугольный треугольник МОК, проведем перпендикуляр ОЕ.
Угол МОЕ=β. Треугольники МОЕ и МОК - прямоугольные, угол ОМК -общий. Значит треугольники подобны по двум углам.
Угол ОКМ =β, tg OKM=MO/OK
MO=OK·tgβ=a√3·tgβ/6
Тогда объём пирамиды
V=1/3· S·MO=1/3 · a²√3/4 · а√3 ·tg β/6=a³·tgβ /24
Так как V известен, то выразим а через V и tg β
a=∛(24·V/ tgβ)
Подставим найденное значение а в выражение площади через сторону а:
S=a²√3/4=∛(24·V/tgβ)² ·√3/4, так как ∛(24)²=4·∛9, то ответ упрощается;
S=√3·∛9V²/tg²β