Question

В четырехугольнике ABCD сторона AD параллельна стороне BC. Диагональ BD перпендикулярна стороне AD. Сумма тупых углов равна 270 гр. Известно, что AD=4BC.
1) Докажите, что CD = 1/2AB;
2) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в серединах сторон исходного четырехугольника ABCD, если BD=20

Answer 1

CA⊥AB, AB||CD => CA⊥CD
∠CAB=90°, ∠DCA=90°
∠DCB+∠DAB=270° <=> ∠DCA+∠ACB+∠DAC+∠CAB=270° <=> ∠ACB+∠DAC=90°
∠CDA+∠DAC=90° (сумма острых углов прям. треугольника равна 90°)
∠ACB=∠CDA
△ACB~△CDA (по двум углам)
CD/AC=CA/AB=AD/BC

CD/AB=1/9 <=> CD= AB/9
CD/AC=CA/AB <=> CD= CA^2/AB
AB/9= CA^2/AB <=> (CA/AB)^2 =1/9 <=> CA/AB=1/3

AD/BC=CA/AB=1/3

Answer 2

Добрый день, ученик! Давайте рассмотрим этот вопрос по порядку.

1) Для начала, давайте изобразим данную фигуру. У нас есть четырехугольник ABCD, где сторона AD параллельна стороне BC, а диагональ BD перпендикулярна стороне AD.

? A --------- B ?
| |
| |
| |
| |
| |
D -------------- C

Для доказательства, что CD = 1/2AB, мы можем воспользоваться свойствами параллельных линий и равенства треугольников.

Посмотрим на треугольники ABD и CBD. У них есть общая сторона BD, а также углы BAD и BCD, которые являются тупыми. Поскольку сумма тупых углов равна 270 градусам, значит каждый из этих углов равен 90 градусам.

Также, поскольку BD перпендикулярна AD, у нас есть прямой угол между стороной AD и диагональю BD.

Из этих свойств следует, что треугольник ABD является прямоугольным треугольником, и мы можем применить теорему Пифагора.

Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (такое название имеет сторона, которая находится напротив прямого угла) равен сумме квадратов катетов (то есть квадратов двух оставшихся сторон).

Применим это к треугольнику ABD. Пусть x - это длина стороны AB, тогда длина стороны AD равна 4x (поскольку AD=4BC).

Используя теорему Пифагора, мы можем записать уравнение:

(4x)² = x² + (BD)²

16x² = x² + (BD)²

15x² = (BD)²

Заметим, что сторона CD равна половине стороны AB. То есть CD = 1/2AB = 1/2x.

Теперь задача сводится к доказательству, что (BD)² = 4(CD)².

Подставим в наше уравнение значения, которые мы уже знаем:

15x² = (BD)²

15x² = 4(CD)²

15x² = 4(1/2x)²

15x² = 4(1/4)x²

15x² = x²

Теперь давайте сократим x² с обеих сторон:

15 = 1

Мы получили равенство, которое не выполняется. Это означает, что наше предположение (BD)² = 4(CD)² неверно, и что CD не равно 1/2AB.

2) Теперь перейдем ко второму вопросу. Нам нужно найти площадь четырехугольника, вершины которого находятся в серединах сторон исходного четырехугольника ABCD, если BD=20.

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться свойствами исходного четырехугольника. В данной задаче у нас нет точной информации о фигурах, которые образуются путем соединения середин сторон четырехугольника ABCD. Поэтому, нам не хватает информации для вычисления площади этих фигур.

Следовательно, мы не можем точно найти площадь четырехугольника с вершинами в серединах сторон исходного четырехугольника ABCD, при условии, что BD=20.

Я надеюсь, что объяснение было понятным и полезным. Если у тебя есть еще какие-либо вопросы, не стесняйся задавать!