В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы является центром описанной окружности. Он находится на пересечении срединных перпендикуляров, а так как уравнение одной медианы уже есть, то для получения этой точки достаточно наличие ещё одного перпендикуляра. Находим уравнение стороны АВ по известным координатам этих точек: . Выразим относительно у: -х = 2у - 4 у = -(1/2)х + 2. Находим координаты середины стороны АВ (точка К): К((2+0)/2=1; (1+2)/2=1,5) = (1; 1,5). Коэффициент к перпендикуляра КО равен -1/к(АВ) = -1 / (-1/2) = 2. Уравнение КО: у = 2х + в. Параметр в находим по координатам точки К: 1,5 = 2*1 + в в = 1,5 - 2 = -0,5. Получаем уравнение перпендикуляра КО: у = 2х - 0,5. Находим координаты точки О, приравняв уравнения медианы и перпендикуляра КО, которые пересекаются в точке О: Заданное уравнение медианы 3х - 4у + 8 = 0 выразим относительно у: (0.75 - 2)*x = -0.5 - 2 -1.25x = -2.5 x = -2.5 / -1.25 = 2 y = 2*2 - 0.5 = 3.5. О(2; 3,5). Точка С симметрична точке В относительно точки О: Хс = 2Хо - Хв = 2*2 - 2 = 2 Ус = 2Уо - ув = 2*3,5 - 1 = 6. ответ: С(2; 6).
Пусть M - точка пересечения прямых BD и AC. <BAC = <DCA - как внутренние накрест лежащие при AB параллельной DC и секущей AC. Также <ABD = <CDB - как внутренние накрест лежащие при AB параллельной DC и секущей BD. Так как <BAC = <ABD, то <BDC = <ACD. У треугольника CMD <ACD = <BDC. Значит, по признаку он равнобедренный. Аналогично рассуждая, доказываем, что BMA - равнобедренный треугольник. По свойству параллелограмма получаем, что AM = CM, BM = DM. Собрав имеющиеся данные, получим AM = BM = DM = CM. CA = AM+CM; DB = DM+BM. Но так как AM,BM,DM и CM равны, то получаем CA = DB. Рассмотрим параллелограмм ABCD. В нём диагонали CA и DB равны, значит, по признаку он является прямоугольником. Ч.т.д.
Он находится на пересечении срединных перпендикуляров, а так как уравнение одной медианы уже есть, то для получения этой точки достаточно наличие ещё одного перпендикуляра.
Находим уравнение стороны АВ по известным координатам этих точек:
Выразим относительно у:
-х = 2у - 4
у = -(1/2)х + 2.
Находим координаты середины стороны АВ (точка К):
К((2+0)/2=1; (1+2)/2=1,5) = (1; 1,5).
Коэффициент к перпендикуляра КО равен -1/к(АВ) = -1 / (-1/2) = 2.
Уравнение КО: у = 2х + в.
Параметр в находим по координатам точки К:
1,5 = 2*1 + в
в = 1,5 - 2 = -0,5.
Получаем уравнение перпендикуляра КО:
у = 2х - 0,5.
Находим координаты точки О, приравняв уравнения медианы и перпендикуляра КО, которые пересекаются в точке О:
Заданное уравнение медианы 3х - 4у + 8 = 0 выразим относительно у:
(0.75 - 2)*x = -0.5 - 2
-1.25x = -2.5
x = -2.5 / -1.25 = 2
y = 2*2 - 0.5 = 3.5.
О(2; 3,5).
Точка С симметрична точке В относительно точки О:
Хс = 2Хо - Хв = 2*2 - 2 = 2
Ус = 2Уо - ув = 2*3,5 - 1 = 6.
ответ: С(2; 6).