Смотрите рисунок к задаче, который приложен к ответу. На рисунке есть все построения, описанные в задаче, а именно: с прямым углом , EF — биссектриса , , FG — искомый отрезок. ========== Решение: Докажем, что . 1) Так как — биссектриса, то (биссектриса делит на два равные угла). 2) (это следует из условия: так как прямоугольный, то и ; так как — расстояние от до , то ). 3) Так как и , то и третий угол первого треугольника равен третьему углу второго треугольника: . Это следует из того факта, что сумма углов любого треугольника равна 180°. Тогда можно записать так: Отсюда: Суммы в скобках в обоих уравнениях равны (так как, как я уже отмечал выше, углы, составляющие те суммы, равны), а значит равны и разности в обоих уравнениях, а значит .
3) Сторона является для обоих треугольников общей. Собранных сведений достаточно, чтобы заключить, что (второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим к ней углам ( — сторона, а — два прилежащих угла)). Раз треугольники равны, то и все их их соответственные элементы равны. Видим, что искомой стороне соответствует , тогда: ответ: 13. ========= ответ можно проверить, геометрически (линейкой) измерив искомый отрезок . Смотрите второй рисунок.
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.(теорема) dа и dс - отрезки касательных, проведенных к большей окружности из точки d. => da=dc. dв и dс - отрезки касательных, проведенных к меньшей окружности из точки d.=> db=dc. два отрезка, равные третьему, равны между собой. => аd=bd ad: bd=1: 1 из чего следует аd: ab=1/2 и т.d середина ав.
==========
Решение:
Докажем, что
1) Так как
2)
3) Так как
Отсюда:
Суммы в скобках в обоих уравнениях равны (так как, как я уже отмечал выше, углы, составляющие те суммы, равны), а значит равны и разности в обоих уравнениях, а значит
3) Сторона
Собранных сведений достаточно, чтобы заключить, что
Раз треугольники равны, то и все их их соответственные элементы равны. Видим, что искомой стороне
ответ: 13.
=========
ответ можно проверить, геометрически (линейкой) измерив искомый отрезок