ABCD - выпуклый четырехугольник, в нем по условию ∠BAC=∠ACD, а это внутренние накрест лежащие при прямых СD и АВ, и секущей АС, значит, по признаку параллельности прямых СD и АВ параллельны. ВC=AD.
Четырехугольник окажется вписанным, если сумма противоположных углов равна 180°. Параллелограмм, который вписан в окружность, может быть только прямоугольником. /как частный случай прямоугольника - квадрат./
А если стороны АD и ВС не параллельны, то это будет равнобедренная трапеция.
Равнобедренной трапецией этот четырехугольник будет,
если добавить условия
1) AB≠CD; /верхнее и нижнее основания у трапеции различные./ и
6)BC не параллелен AD;/боковые стороны не параллельны/, 7) ∠BCA≠∠CAD; /при равенстве этих углов противолежащие углы равны, в сумме 180°, тогда трапеция не получим./
Если же добавить условие 8)∠ABC=90∘ то и угол С станет тоже прямым, поскольку ВС будет перпендикулярно к одной из двух параллельных прямых АВ, он окажется перпендикуляром и к СD, 3)AD>AB; значит, четырехугольник окажется прямоугольником. около него тоже можно описать окружность, центр ее - точка пересечения
диагоналей. если не учитывать 3)AD>AB, то можем допустить, что эти смежные стороны равны, тогда из прямоугольника получим квадрат.
наконец, окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. Но данных в условии не хватает для этого.
ответ 1), 6), 7, или 8)
Рассмотрим △BAD.
Дано, что точка С лежит на биссектрисе угла A и серединном перпендикуляре к BD.
Биссектриса и серединный перпендикуляр пересекаются на описанной окружности △BAD (делят дугу BD пополам).
Таким образом, если биссектриса и серединный перпендикуляр НЕ СОВПАДАЮТ, но пересекаются, то точка С лежит на описанной окружности △BAD.
Биссектриса и серединный перпендикуляр не совпадают, если △BAD не равнобедренный (BD - основание).
Достаточные условия:
AB≠AD.
∠BCA>90 (тогда BD не перпендикулярен AC).
BD не перпендикулярен AC.
∠ABC≠∠ADC (тогда ABD≠ADB).
∠BCA≠∠ACD (тогда CA не биссектриса в BCD, следовательно не серединный перпендикуляр).