Задача №3 решена Пользователем Nelle987 Ведущий Модератор Знаток
1. Высоты треугольника пересекаются в одной точке, значит высота, проведенная к стороне АС, так же проходит через точку Н. ΔВНА₁: ∠А₁ = 90°, по теореме Пифагора ВН = √(ВА₁² + А₁Н²) = √(16 + 9) = √25 = 5 ΔВА₁Н подобен ΔАВ₁Н по двум углам (∠ВА₁Н = ∠АВ₁Н = 90°, углы при вершине Н равны как вертикальные), ВН : АН = А₁Н : НВ₁ 5 : 4 = 3 : НВ₁ НВ₁ = 3 · 4 / 5 = 12 / 5 = 2,4 ВВ₁ = ВН + НВ₁ = 5 + 2,4 = 7,4
2. Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника - центр описанной окружности. Углы АОВ, ВОС и АОС - центральные, а углы АСВ, ВАС и АВС - вписанные, опирающиеся на одну дугу с соответствующим центральным. Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу.
3. Прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке. Тогда прямая, на которой лежит высота к стороне МК , так же проходит через точку О. OA – высота. S(МНКО) = S(MOK) - S(MHK) = 1/2 · (OH + HA) · MK - 1/2 · HA · MK = 1/2 · OH · MK S(МНКО) = 1/2 · 5 · 10 = 25
Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1 от вершины.
MG=2x, GQ=x, LG=2y, GP=y
MP=KM/2, LQ=KL/2
Теорема Пифагора
4x^2 +y^2 =MP^2
x^2 +4y^2 =LQ^2
5x^2 +5y^2 =MP^2 +LQ^2
PQ =√(x^2 +y^2) =√((MP^2 +LQ^2)/5) =√((KM^2 +KL^2)/20) =8,5
Докажем свойство медиан прямоугольного треугольника
MM1, LL1, GG1 - медианы MLG
MM1^2 =MG^2 +LG^2/4
LL1^2 =MG^2/4 +LG^2
GG1^2 =ML^2/4
MM1^2 + LL1^2 =5/4 (MG^2+LG^2) =5/4 *ML^2 =5 GG^2
M1G=GP (LG:GP=2:1, LM1=M1G)
MG - медиана и высота => PMM1 - равнобедренный, MM1=MP=KM/2
Аналогично LL1=KL/2
GG1=ML/2 (медиана из прямого угла)
MM1^2 +LL1^2 =5 GG^2 (свойство медиан прямоугольного треугольника)
KM^2 +KL^2 =5 ML^2
ML =√((31^2 +22^2)/5) =17
PQ =ML/2 =8,5 (средняя линия)