Доказательство в объяснении.
Объяснение:
Дан треугольник АВС с основанием АС и высотой h, проведенной к основанию. Стороны треугольника
АВ = "с", ВС = "а".
Пусть основание делится высотой на отрезки, равные x и y, считая от вершины А.
Тогда из прямоугольных треугольников, на которые высота делит исходный треугольник, имеем:
x = c*cosa. y = a*cos2a.
c = h/sina. a = h/sin2a. cos2a = h/а. =>
x = h*cosa/sina. y = h*cos2a/sin2a.
x - y = h(cosa/sina - cos2a/sin2a).
Sin2a = 2sina·cosa. (формула двойного аргумента)
Cos2a = 1 - 2sin²а. (формула двойного аргумента) Тогда
cosa/sina - cos2a/sin2a =
(cosa·sin2a - cos2a·sina)/(sina·sin2a). =>
sina(2cos²а - cos2a)/(sina·cos2a)=(2cos²а - cos2a)/(cos2a).
(2cos²а - 1 + 2sin²а)/(cos2a) =
(2cos²а + 2sin²а - 1)/(cos2a) = 1/cos2a. =>
x - y = h/cos2a.
cos2a = h/а. =>
x - y = h/(h/а) = а.
Что и требовалось доказать.
ответ: Sбок.пов=27см²
Объяснение: в основании правильной трёхугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Проведём в нём высоты ДЕК, которые также являются биссектриса и и медианами основания. Отметим точку их пересечения О. Медианы при пересечении делятся в отношении 2: 1, начиная от вершины треугольника. Рассмотрим полученный ∆МОВ. Он прямоугольный и МО и ВО в нём являются катетами а ВМ- гипотенуза. Найдём ОВ по теореме Пифагора:
ВО²=МВ²-МО²=(3√2)²-(√6)²=9×2-6=18-6=12;
ВО=√12=2√3см
Так как ВО/ОЕ=2/1, то ОЕ=ОК=ОД=2√3/2=
=√3см
Также найдём МД в ∆МДО по теореме Пифагора: МД²=МО²+ДО²=(√6)²+(√3)³=
=6+3=9; МД=√9=3см
Теперь найдём сторону ВД в ∆СМВ по теореме Пифагора: ВД²=МВ²-МД²=
=(3√2)²-3²=9×2-9=18-9=9; ВД=√9=3см
Так как ∆СМВ равнобедренный (МВ=МС=3√2), то ВД=СД=3см. Следовательно ВС=3×2=6см
Теперь найдём площадь боковой грани СМВ по формуле:
Sбок.гр=½×BC×МД=½×6×3=9см².
Так как таких граней 3 то:
Sбок.пов=9×3=27см²