Question

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB, AC, BC в точках C1, B1, A1 соответственно. Известно, что AB=13, AC=17, BC=8. Вычислите длины следующих отрезков.

Answer 1

Для решения данной задачи нам потребуется использовать свойства окружностей и треугольников.

Во-первых, по свойствам вписанных окружностей, мы знаем, что точка касания между окружностью и стороной треугольника является точкой перпендикуляра, опущенного из центра окружности на эту сторону.

Во-вторых, если мы построим отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания, то получим медианы треугольника. Так как вписанная окружность касается сторон AB, AC, BC, то эти медианы будут пересекаться в одной точке, называемой центром окружности.

Теперь разберемся с нахождением длин отрезков. Найдем длины отрезков A1B1, A1C1 и B1C1.

1) Длина отрезка A1B1:

По свойству медианы, отрезок A1B1 будет равен половине суммы длин отрезков AC и BC. Значит, A1B1 = (AC + BC) / 2.

Подставляем известные значения: A1B1 = (17 + 8) / 2 = 25 / 2 = 12.5.

2) Длина отрезка A1C1:

Аналогично, по свойству медианы, отрезок A1C1 будет равен половине суммы длин отрезков AB и BC. Значит, A1C1 = (AB + BC) / 2.

Подставляем известные значения: A1C1 = (13 + 8) / 2 = 21 / 2 = 10.5.

3) Длина отрезка B1C1:

Для нахождения длины отрезка B1C1 нам понадобится использовать третье свойство вписанных окружностей. Оно гласит, что сумма длин двух отрезков, проведенных от вершины треугольника до точек касания, равна длине третьего отрезка:

AC1 + BC1 = AB1.

Заметим, что отрезок AC1 равен половине длины стороны AC (так как AC1 является медианой треугольника ABC), то есть AC1 = AC / 2.

Аналогично, отрезок BC1 равен половине длины стороны BC: BC1 = BC / 2.

Имеем уравнение: AC / 2 + BC / 2 = AB1.

Подставляем известные значения: 17 / 2 + 8 / 2 = AB1.

Упрощаем: 8.5 + 4 = AB1.

Складываем: 12.5 = AB1.

Ответ: AB1 = 12.5.

Таким образом, мы нашли длины отрезков A1B1, A1C1 и B1C1: A1B1 = 12.5, A1C1 = 10.5 и B1C1 = 12.5.