1) Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 15см и катетом 12см. Найдите площадь боковой поверхности, если грань содержащая больший катет – квадрат. Решение. По Пифагору найдем второй катет основания призмы: √(15²-12²)=√(27*3)=9см. Следовательно, больший катет равен 12см и высота призмы равна 12см (так как боковая грань - квадрат 12х12 - дано). Площадь боковой поверхности призмы равна Sб=P*h, где Р - периметр, а h - высота призмы. Sб=36*12=432см².
2) Ребро правильного тетраэдра равно а. Постройте сечение плоскостью, проходящей через ребро АС и делящее его в отношении 1:2, и проходящей параллельно ребру АВ. Решение. Условие для однозначного решения не полное. Во-первых, не понятно условие "Постройте сечение плоскостью, проходящей через ребро АС и делящее его в отношении 1:2". Проходящее - содержащее это ребро или пересекающее его? Раз сечение делит ребро в отношении 1:2, значит плоскость пересекает это ребро и делит его в отношении 1:2, но считая от какой вершины? Во вторых, таких сечений может быть бесконечное множество, так как плоскость, параллельная прямой АВ, может пересекать тетраэдр в любом направлении. Например, параллельно грани АВS (сечение MNP) или проходящее через точку Q на ребре AS (сечение MQDN). Причем линия пересечения грани АSB и плоскости сечения будет параллельна ребру АВ. Вывод: однозначного решения по задаче с таким условием нет.
1)Пусть дан треугольник АВС: АВ=ВС. ВК- высота. Т- точка пересечения биссектрисы АМ и высоты ВК. Свойство биссектрисы угла треугольника : биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Рассмотрим треугольник АВК: ВТ:ТК= АВ:ВК=5:3. Значит ВТ на 4 больше, чем ТК. ТК=х, ВТ=х+4, (х+4):х=5:3, 3х+12=5х, 2х=12, х=6, ТК=6, ВТ=10, ВК=16.
Так как по условию сказано, что АВ:АС=5:6, то обозначим АВ=5t, AK=3t, по теореме Пифагора АВ²=АК²+ВК² 25t²=9t²+256, 16t²=256, t²=16, значит t=4 АВ=20, АК=12, АС=24 Р=20+20+24=64
2) Дан равнобедренный треугольник АВС: АВ=ВС. Высота ВК. ВТ=10, ТК=6. Значит ВК=16. И по свойству биссектрисы АВ:АК=ВТ:ТК=10:6=5:3 Пусть АВ=5х, АК=3х, тогда по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВК: АВ²=АК²+ВК², 25х²=9х²+16². 16х²=16², х²=16, х=4, Значит АВ=20, АС=2АК=2·12=24. Опустим перпендикуляр ТЕ из точки Т на сторону ВС. Найдем ВЕ и ЕС. Из прямоугольного треугольника ТКС: ТК=6, КС=12, значит ТС=√6²+12²=√36+144=√180=6√5. Из прямоугольного треугольника ВТЕ: обозначим ТЕ=у, тогда ВЕ=√(100-у²), Из прямоугольного треугольника ТСЕ:СЕ=√(180-у²), Так как ВЕ+ЕС=ВС, составим уравнение: √(100-у²) +√(180-у²)=20. Это иррациональное уравнение. Возводим в квадрат. √(100-у²)=20-√(180-у²). Возводим в квадрат. 100-у²=400-40√(180-у²)+180-у², √(180-у²)=12, 180-у²=144, у²=36, у=6, значит ВЕ=√100-36=√64=8, ЕС=√180-36=√144=12. Перпендикуляр ТЕ делит боковую сторону на отрезки 8 и 12.
Решение.
По Пифагору найдем второй катет основания призмы:
√(15²-12²)=√(27*3)=9см.
Следовательно, больший катет равен 12см и высота призмы равна 12см (так как боковая грань - квадрат 12х12 - дано).
Площадь боковой поверхности призмы равна Sб=P*h, где Р - периметр, а h - высота призмы.
Sб=36*12=432см².
2) Ребро правильного тетраэдра равно а. Постройте сечение плоскостью, проходящей через ребро АС и делящее его в отношении 1:2, и проходящей параллельно ребру АВ.
Решение.
Условие для однозначного решения не полное.
Во-первых, не понятно условие "Постройте сечение плоскостью, проходящей через ребро АС и делящее его в отношении 1:2".
Проходящее - содержащее это ребро или пересекающее его?
Раз сечение делит ребро в отношении 1:2, значит плоскость пересекает это ребро и делит его в отношении 1:2, но считая от какой вершины?
Во вторых, таких сечений может быть бесконечное множество, так как плоскость, параллельная прямой АВ, может пересекать тетраэдр в любом направлении. Например, параллельно грани АВS (сечение MNP) или проходящее через точку Q на ребре AS (сечение MQDN).
Причем линия пересечения грани АSB и плоскости сечения будет параллельна ребру АВ.
Вывод: однозначного решения по задаче с таким условием нет.