Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно l и образует с ребром основания пирамиды угол альфа. найдите площадь полной поверхности пирамиды. как можно быстрей. -- надо до завтра решить) заранее )
Пирамида четырехугольная, правильная, значит в основании квадрат, а боковые грани - равные равнобедренные треугольники. Высота проецируется в центр основания.
Пусть Н - середина CD, Тогда SH⊥CD как медиана равнобедренного треугольника. SH - апофема пирамиды.
ΔSHC: SH = l · sinα CH = l · cosα Сторона основания: CD = 2CH = 2l · cosα
Sполн = Sосн + Sбок
Sосн = СD² = 4l² · cos²α
Sбок = 1/2 · Pосн · SH = 1/2 · 8l·cosα · l · sinα Sбок = 4·l² · sinα · cosα = 2l² · sin2α (так как sin2α = 2sinα·cosα)
1) расстояние от центра до одного из катетов =2,5 см - это средняя линия треугольника и,значит,другой равен 5 см, а второй катет находим по теореме Пифагора 13² = 5² +х ² х² = 169 -25 х² = 144 х = 12 2) треугольник АСЕ прямоугольный , у которого одна сторона равна 4, другая 8 а, третья по теореме Пифагора 8² = 4² + х² х² = 64 - 16 х² = 48 х = 4√3 радиус вписанной окружности найдем из площади треугольника 1/2 Р*r = 1/2 ab 1/2 (4 +8 +4√3)*r = 1/2 *4 *4√3 (12 +4√3)*r = 16√3 (3 +√3)*r = 4√3 r = 4√3/(3+√3)? избавимся от иррациональности в знаменателе r = 2*(√3 -1)
Обозначим данный треугольник буквами ABC, одну из его биссектрис - AM, остальные биссектрисы - BH и CK. Данный треугольник также является равнобедренным. По свойству биссектрисы, проведенной из вершины равнобедренного треугольника, AM также будет являться его высотой и медианой. Значит, так как сторона BC также равна 14 корней из 3, то BM =(14 корней из 3)/2 = (14 и 2 сокращаются) 7 корней из 3. Так как угол ABM = 90 градусам, то по теореме Пифагора AB^2 = AM^2 + BM^2; 588 = AM^2 + 147; AM^2 = 588-147; AM^2 = 441; AM = 21. Биссектрисы равностороннего треугольника равны, значит, AM = BH = CK. ответ: 21;21;21.
Пусть Н - середина CD, Тогда SH⊥CD как медиана равнобедренного треугольника. SH - апофема пирамиды.
ΔSHC: SH = l · sinα
CH = l · cosα
Сторона основания:
CD = 2CH = 2l · cosα
Sполн = Sосн + Sбок
Sосн = СD² = 4l² · cos²α
Sбок = 1/2 · Pосн · SH = 1/2 · 8l·cosα · l · sinα
Sбок = 4·l² · sinα · cosα = 2l² · sin2α
(так как sin2α = 2sinα·cosα)
Sполн = 4l² · cos²α + 2l² · sin2α = 2l² · (2cos²α + sin2α)