Question

Дан треугольник АВС, А(-2;0;1), В(5;4;1), С(2;3;1). Определите вид треугольника

Answer 1

Чтобы определить вид треугольника, нужно рассмотреть его стороны и углы.

1. Найдем длины сторон треугольника:

Для этого нам понадобятся координаты точек. Вектором можно задать отрезок, соединяющий две точки. Поэтому найдем векторы AB, AC и BC:

AB = (5 - (-2), 4 - 0, 1 - 0) = (7, 4, 1)
AC = (2 - (-2), 3 - 0, 1 - 0) = (4, 3, 1)
BC = (2 - 5, 3 - 4, 1 - 1) = (-3, -1, 0)

Теперь найдем длины этих векторов:

|AB| = sqrt(7^2 + 4^2 + 1^2) = sqrt(74)
|AC| = sqrt(4^2 + 3^2 + 1^2) = sqrt(26)
|BC| = sqrt((-3)^2 + (-1)^2 + 0^2) = sqrt(10)

2. Проверим выполнение теоремы Пифагора для треугольника:

Если квадрат самой длинной стороны равен сумме квадратов двух оставшихся сторон, то треугольник является прямоугольным.

Для этого нужно сравнить значения:

(a) |AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2
(b) |AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2
(c) |BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2

(a) sqrt(74)^2 = sqrt(26)^2 + sqrt(10)^2
74 = 26 + 10
74 = 36

(b) sqrt(26)^2 = sqrt(74)^2 + sqrt(10)^2
26 = 74 + 10
26 = 84

(c) sqrt(10)^2 = sqrt(74)^2 + sqrt(26)^2
10 = 74 + 26
10 = 100

Таким образом, ни одно из равенств не выполняется. Это означает, что треугольник не является прямоугольным.

3. Определим вид треугольника по длинам его сторон:

Для этого используем неравенства треугольника:
- Сумма любых двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны.

Для нашего треугольника проверим неравенства:

(a) |AB| + |AC| > |BC|
sqrt(74) + sqrt(26) > sqrt(10)
49.38 + 5.1 > 3.16
54.48 > 3.16

(b) |AB| + |BC| > |AC|
sqrt(74) + sqrt(10) > sqrt(26)
49.38 + 3.16 > 5.1
52.54 > 5.1

(c) |AC| + |BC| > |AB|
sqrt(26) + sqrt(10) > sqrt(74)
5.1 + 3.16 > 49.38
8.26 > 49.38

Все три неравенства не выполняются! Это означает, что треугольник не является ни остроугольным, ни тупоугольным, а является вырожденным - треугольником, у которого точки А, В и С лежат на одной прямой.