Объяснение:
Дана правильная треугольная пирамида. Её высота Н равна a√3, радиус окружности, описанной около её основания, равен 2a.
Найти: а) апофему А пирамиды.
Радиус R окружности, описанной около её основания, равен 2/3 высоты основания, то есть R = в√3/3, где в - сторона основания.
Находим сторону основания: в = R/(√3/3) = R√3 = 2a√3.
Отсюда апофема равна: А = √(Н² + (R/2)²) = √(3a² + a²) = √4a² = 2a.
Величина R/2 равна 1/3 высоты основания или радиусу вписанной окружности в основание.
б) угол α между боковой гранью и основанием равен:
α = arc tg(H/(R/2)) = arc tg(a√3/a) = arc tg√3 = 60 градусов.
в) площадь Sбок боковой поверхности.
Периметр основания Р = 3в = 3*2a√3 = 6a√3.
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*(6a√3)*2а = 6a²√3 кв.ед.
г) плоский угол γ при вершине пирамиды(угол боковой грани).
γ = 2arc tg((в/2)/А) = 2arc tg((2а√3/2)/2а) = 2arc tg(√3/2) ≈ 1,42745 радиан или 81,7868 градуса.
Из треугольника АВС по теореме косинусов найдем косинус угла В:
AC² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cosB
cosB = (AB² + BC² - AC²) / (2·AB·BC)
cosB = (40² + 40² - 20²) / (2 · 40 · 40) = 7/8
ВН : НС = 3 : 1, значит НС = 1/4 ВС = 1/4 · 40 = 10 см
ВН = 40 - 10 = 30 см
Из треугольника АВН по теореме косинусов найдем АН:
АН² = AB² + BH² - 2·AB·BH·cosB = 40² + 30² - 2 · 40 · 30 · 7/8
AH² = 1600 + 900 - 2100 = 2500 - 2100 = 400
AH = 20 см