треугольнике ABC со сторонами AB=2 см, BC=3 см и AC=3 см проведена биссектриса BM. Найдите длины отрезков AM и MC.
№2 В треугольнике MNKизвестны длины сторон MN=4 см,NK=5 см, NP — биссектриса, а разность длин отрезковMP и PKравна 0,5 см. Найдите MPи PK.
№3 треугольнике DEP проведена биссектрисаEK. Найдите стороныDE и EP,если DK=3 см, KP=4 см, а периметр треугольника DEP равен 21 см.
№4 В треугольнике ABC: BC-AB=3 см, биссектриса BD делит сторону AC на отрезки AD=2 см и DC=3 см. Найдите длины сторон AB и BC
№6 Периметр треугольника CDE равен 55 см. В этот треугольник вписан ромб DMFN так, что вершиныM,F и N лежат соответственно на сторонах CD,CE и DE. Найдите стороны CB и DE, если CF=8 см;EF=12 см. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла. Известно что эта биссектриса делит противолежащий катет на отрезки 4 см и 5 см. Найдите площадь прямоугольного треугольника.
Точка O на гипотенузе равноудалена от двух катетов прямоугольного треугольника и делит
а) 217/264, 287/324, -551/1188; б)
, 
, 
.
Объяснение:
Не выяснили, чем всё-таки являются числа в условии, так что я приму их за длины сторон треугольника АВС, где АВ=27, ВС=22, АС=42.
Здесь пригодится теорема косинусов:
, где угол альфа - угол напротив стороны а.
Применим теорему для стороны АВ: АВ²=ВС²+АС²-2ВС*АС*cosBCA
27²=22²+42²-2*22*42*cosBCA
729=484+1764-1848cosBCA
1848cosBCA=1519
cosBCA=
Аналогично применяем теорему для оставшихся углов и получаем:
cosСАВ=
cosСВА= -
Чтобы дальше решать было удобнее, обозначим точки пересечения медиан и сторон треугольника: медиана из угла А пересекает сторону СВ в точке К, медиана из угла В пересекает сторону АС в точке L, а медиана из угла С пересекает сторону АВ в точке М. Теперь вычислим длины медиан. Как известно, медианы делят стороны, к которым проведены, пополам. Таким образом получаем: AL=LC=42/2=21, CK=KB=22/2=11, BM=MA=27/2=13,5.
Здесь опять нужна теорема косинусов, только теперь необходимо найти одну из сторон при известном косинусе и двух других сторонах.
СМ²=АС²+АМ²-2АМ*АС*cosСАВ
СМ²=42²+13,5²-2*13,5*42*
СМ=√
СМ=
Аналогично поступаем и с другими медианами:
АК=
BL=