Расстояние от точки до прямой - длина перпендикулярного отрезка, проведенного между ними.
В равнобедренном ∆ АСВ углы при А и В равны (180°-120°):2=30°
К и Е - середины АС и ВС соответственно.
След. АК=КС=СЕ=ВЕ=а/2
КЕ║АВ по свойству средней линии.
∠СКЕ=∠СЕК=30° (соответственные углам А и В при пересечении параллельных КЕ и АВ секущими).
В четырехугольнике СКМЕ углы при К и Е равны 90° ( МК и МЕ - перпендикуляры)
. Сумма углов четырехугольника 360°. ⇒ ∠КМЕ=360°-2•90°-120°=60°.
∠ЕКМ=∠КЕМ=90°-30°=60°
∆ МЕК- равносторонний.
Срединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке. ⇒ СМ - срединный перпендикуляр, Н - середина АВ, и АН=ВН, ⇒
СН - медиана и биссектриса ∆ АСВ. ∠НСВ=60°
СН противолежит углу 30° ⇒ СН=СВ:2=а/2
СЕ=а/2, СН=а/2 ⇒∆ НСЕ- равносторонний, НЕ=а/2.
∠СМЕ=∠МЕН=30°
∆ МНЕ - равнобедренный. ⇒ МН⊥АВ, МН=ЕН=а/2.
* * *
Или короче:
Точка пересечения срединных перпендикуляров треугольника является центром описанной окружности.
МA=МC=МB - радиусы описанной окружности. .
Треугольник АМВ - равнобедренный и равен ∆ АСВ по трём сторонам. Острые углы при А и В этих треугольников равны и имеют градусную меру (180°-120°):2=30°
Поскольку угол МНА=90°, то из прямоугольного ∆ АНМ катет НМ=АМ•sin30°=a/2 (или, если больше нравится, то по свойству катета, противолежащего углу 30°, он равен половине гипотенузы АМ - равен а/2)
если угол между векторами a и b равен α, то
по теореме косинусов
|a+b|=a²+b²+2abCosβ, где β=(180°-α) и Cosβ=-cosα.
В нашем случае |a+b|=9+64+2*3*8*(1/2)=97.