Решение: Пусть О – центр окружности, пусть Р – ближняя из точек пересечения окружности и отрезка АО. Пусть N – точка пересечения
Тогда прямоугольные треугольники OAC и ОAB равны за катетом и гипотенузой(ОF=ОA, ОC=ОB – как радиусы).Значит из равности треугольников,AC=AB
угол АOC=угол AOB(то же самое угол РOC=угол РOB)
угол OAC=угол OAB(то же самое угол OРC=угол OРB ), значит АP – биссектриса угла А,(то же самое, что AN - биссектриса угла А )
AC=AB – значит треугольник ABC – равнобедренный
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, есть его высотой и медианой
треугольник ABC – равнобедренный, AN - биссектриса угла А, значит
угол ANB= угол ANC=90 градусов
треугольник BOP – равнобедренный (BO=OP – как радиусы),
значит угол PBO= угол BPO
Пусть угол BOA= угол BOP= угол BON=х.
Сумма углов треугольника равна 180.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.
Тогда с треугольника BOP
угол PBO= угол BPO=(180 -х)\2=90-х\2
с треугольника AOB угол OAB=90-х
угол ABP= угол OAB- угол PBO=90-х-(90-х\2)=x\2
угол PBN=90-угол OAB- угол ABP=90-(90-x)-x\2=x\2
угол ABP= угол PBN, значит BP – биссектриса угла B.
Итак, точка P- точка пересечения биссектрис треугольника ABC, что и требовалось доказать.
Стороны равностороннего треугольника обозначим обозначим за Х
Теперь рассмотрим один из прямоугольных треугольников:
гипотенуза равна Х
катет1 равен х/2(это половина стороны,к которой проведена высота)
катет2 равен медиане
по т пифагора найдем гипотенузу(х)
х^2=(x/2)^2+(12 корней из 3)^2
x^2=432+x^2/4 (умножаем все на 4)
4x^2=1728+x^2
4x^2-x^2=1728
3x^2=1728
x^2=1728/3
x^2=576
х=корень из 576
х=24