Серединний перпендикуляр до діагоналі АС прямокутника АВСD перетинає сторону ВС у точці М так, що ВМ:МС=1:2. Знайдіть кути, на які діагональ прямокутника ділить його кут.
Для того чтобы решить эту задачу, сначала нужно вычислить скалярное произведение векторов m и n, а затем выражение для угла между ними.
Скалярное произведение векторов m и n можно вычислить по следующей формуле:
m · n = m1 * n1 + m2 * n2, где m1 и m2 - координаты вектора m, а n1 и n2 - координаты вектора n.
Подставим известные значения векторов m и n и получим:
m · n = 1 * d + 4 * 3 = d + 12.
Затем, выразим косинус угла между векторами m и n через скалярное произведение и длины векторов:
cosθ = (m · n) / (|m| * |n|), где θ - угол между векторами, |m| - длина вектора m, |n| - длина вектора n.
Длина вектора m равна:
|m| = √(m1^2 + m2^2) = √(1^2 + 4^2) = √(1 + 16) = √17.
Длина вектора n равна:
|n| = √(n1^2 + n2^2) = √(d^2 + 3^2) = √(d^2 + 9).
Теперь, подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:
cosθ = (d + 12) / (√17 * √(d^2 + 9)).
Известно, что угол между векторами равен 45 градусов. Рассчитаем тангенс этого угла:
tan(45°) = 1.
Тангенс вычисляется по формуле:
tanθ = sinθ / cosθ.
Поскольку tan(45°) = 1, то sin(45°) = cos(45°) = 1 / √2 = √2 / 2.
У нас есть следующие равенства:
sinθ = sin(45°) = √2 / 2,
cosθ = cos(45°) = √2 / 2.
Теперь, полученные значения sinθ и cosθ подставляем в формулу для косинуса:
(√2 / 2) = (d + 12) / (√17 * √(d^2 + 9)).
Разделим обе части уравнения на (√17 * √(d^2 + 9)):
(√2 / 2) / (√17 * √(d^2 + 9)) = (d + 12) / (√17 * √(d^2 + 9)).
Скалярное произведение векторов m и n можно вычислить по следующей формуле:
m · n = m1 * n1 + m2 * n2, где m1 и m2 - координаты вектора m, а n1 и n2 - координаты вектора n.
Подставим известные значения векторов m и n и получим:
m · n = 1 * d + 4 * 3 = d + 12.
Затем, выразим косинус угла между векторами m и n через скалярное произведение и длины векторов:
cosθ = (m · n) / (|m| * |n|), где θ - угол между векторами, |m| - длина вектора m, |n| - длина вектора n.
Длина вектора m равна:
|m| = √(m1^2 + m2^2) = √(1^2 + 4^2) = √(1 + 16) = √17.
Длина вектора n равна:
|n| = √(n1^2 + n2^2) = √(d^2 + 3^2) = √(d^2 + 9).
Теперь, подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:
cosθ = (d + 12) / (√17 * √(d^2 + 9)).
Известно, что угол между векторами равен 45 градусов. Рассчитаем тангенс этого угла:
tan(45°) = 1.
Тангенс вычисляется по формуле:
tanθ = sinθ / cosθ.
Поскольку tan(45°) = 1, то sin(45°) = cos(45°) = 1 / √2 = √2 / 2.
У нас есть следующие равенства:
sinθ = sin(45°) = √2 / 2,
cosθ = cos(45°) = √2 / 2.
Теперь, полученные значения sinθ и cosθ подставляем в формулу для косинуса:
(√2 / 2) = (d + 12) / (√17 * √(d^2 + 9)).
Разделим обе части уравнения на (√17 * √(d^2 + 9)):
(√2 / 2) / (√17 * √(d^2 + 9)) = (d + 12) / (√17 * √(d^2 + 9)).
Получаем:
√2 / (2√17√(d^2 + 9)) = (d + 12) / (√17√(d^2 + 9)).
Сокращаем знаменатель на обеих сторонах:
√2 / (2√(d^2 + 9)) = (d + 12) / √(d^2 + 9).
Умножаем обе части уравнения на 2:
√2 / √(d^2 + 9) = (d + 12) / (2√(d^2 + 9)).
Возведем обе части уравнения в квадрат:
2 / (d^2 + 9) = (d + 12)^2 / 4(d^2 + 9).
Умножаем обе части уравнения на (d^2 + 9):
2 = (d + 12)^2 / 4.
Умножаем обе части уравнения на 4:
8 = (d + 12)^2.
Извлекаем квадратный корень на обеих сторонах уравнения:
√8 = d + 12.
Упростим:
2√2 = d + 12.
Вычитаем 12 из обеих частей уравнения:
d = 2√2 - 12.
Таким образом, при значении переменной d = 2√2 - 12, угол между векторами m и n равен 45 градусов.