1. Правильный четырехугольник - квадрат.
Диаметр вписанной в квадрат окружности равен стороне квадрата. ⇒ r=d:2=4:2=2 см.
Для описанного вокруг данной окружности треугольника АВС она - вписанная.
Радиус вписанной в правильный треугольник окружности равен 1/3 его высоты. Следовательно, высота ∆ АВС =2•3=6 см.
Тогда АВ=ВН:sin60°=
=4√3 см.
* * *
2. Для нахождения площади сектора существует формула.
S=Lr:2, где L – длина дуги сектора. ⇒
S=6•4:2=12 см²
Если формула забыта, решить задачу можно без нее.
Длина окружности C=2πr
C=2•p•4=8π см
Площадь окружности S=πr²=16 π см²
Вычислим площадь, которая приходится на сектор с дугой в 1 см.
S:C=16π:8π=2
Тогда площадь сектора
S=2•6=12 см²
Площадь ᐃ ВМС= площадь ᐃ АВС минус площадь ᐃ АМС
Обозначим точку пересечения прямой, проведенной из центра окружности, со стороной АС - буквой Н.
Рассмотрим ⊿АМН
Он равнобедренный прямоугольный, так как прямая ОН, проведенная из центра окружности к хорде (а сторона АС - хорда) и делящая ее пополам, перпендикулярна ей, и отсюда угол АМН = 45°.
АН=НС по построению.
МН=НС и ⊿ МНС - равнобедренный прямоугольный .
Угол АМС=90°.
Итак, имеем равнобедренный прямоугольный ⊿ АМС
Обозначим АМ = МС = а.
АВ=АС, и, как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника, равна а√2.
СМ- высота ᐃ АВС из вершины С к стороне АВ.
Запишем уравнение площади ᐃ АВС
(а*а√2):2=9√2
а²√2=18√2
а²=18 см²
а=3√2 см
Теперь найдем площадь ⊿ АМС
S ⊿ АМС=АМ*МС:2=а²:2
S ⊿ АМС=(3√2)²:2=9см²
S ᐃ ВМС= 9√2-9=9(√2-1)см²