Проведём сечение пирамиды через ось и боковое ребро SC.
Середина ребра SC это точка Е. Пересечение перпендикуляра к этому ребру через точку Е с основанием это точка К, находящаяся на высоте основания СД. Получим прямоугольный треугольник ЕКС, в котором известна сторона ЕС = (1/2) SC = (1/2)*10 = 5.
В другом треугольнике SOC сторона ОС равна (2/3) высоты основания. Для правильного треугольника АВС этот отрезок равен (2/3)*12*cos30 = (2/3)*12*(√3/2) = 4√3.
Косинус угла С равен ОС/SC = 4√3/10 = 2√3/5.
Теперь можно определить гипотенузу СК в треугольнике ЕКС:
CК = ЕС/cosC = 5/(2√3/5) = 25/(2√3).
Так как СК лежит в плоскости основания на его высоте СД, то равные отрезки СР и СМ равны:
СР = СМ = СК / cos 30 = 25/(2√3) / (√3/2) = 25/3 = 8(1/3).
В плоскости боковой грани ASC линией пересечения её с заданной секущей плоскостью будет отрезок ЕМ. Аналогично в плоскости грани ВSC это линия ЕР.
Длину этих равных отрезков (они являются боковыми сторонами в треугольнике РЕМ, который и есть фигурой пересечения пирамиды с заданной плоскостью), находим по теореме косинусов по двум сторонам СЕ и СМ и косинусу угла между ними.
Косинус угла α при основании боковой грани равен 6/10 = 3/5.
Тогда ЕМ = ЕР = √(ЕС² + СМ² - 2*ЕС*СМ*cos α) =
√(5² + (25/3)² - 2*5*(25/3)*(3/5)) =
= √((25*9 + (625/9) - 9*50)/9) = √400 / 3 = 20/3.
Отрезок РМ находим из пропорции подобных треугольников САВ и СРМ:
РМ = СМ = 25/3 = 8(1/3).
ответ: Периметр треугольника, образованного сечением пирамиды плоскостью, перпендикулярной ребру SC в его середине, равен:
Р = (25/3) + 2*(20/3) = (25 + 40) / 3 = 65/3 = 21(2/3).
А для описанного вокруг этой окружности нашего 6-угольника сторона равна
b=R*a/корень кв. из (R^2-0,25*a)
P=6*b
S=(3/2)*a^2*корень кв. из 3.