Question

Для прямоугольного параллелепипеда ABCDA1,В1, C1, D1 , у которого AB = 4, AD = 3, AA1 = 3, найдите косинус угла между плоскостями АВС и: а) АВС1 ; б) ADC1​

Answer 1

Для решения этой задачи нам потребуется знание теоремы косинусов и геометрических свойств прямоугольных параллелепипедов.

1. Косинус угла между плоскостями АВС и АВС1:

Представим плоскости АВС и АВС1 в виде уравнений плоскостей и найдем их нормальные векторы.

Уравнение плоскости АВС задается векторным произведением двух векторов, лежащих в этой плоскости. Векторы AB и AC лежат в плоскости АВС, поэтому их векторное произведение будет нормальным вектором плоскости АВС:
n1 = AB x AC.

Уравнение плоскости АВС1 аналогично задается векторным произведением векторов AB и A1C. Нормальный вектор плоскости АВС1:
n2 = AB x A1C.

Чтобы найти косинус угла между плоскостями АВС и АВС1, мы можем использовать формулу для косинуса угла между двумя векторами:

cos(α) = (n1 * n2) / (|n1| * |n2|),

где α - искомый угол, * - скалярное произведение векторов, | | - длина вектора.

Теперь пошагово найдем все необходимые значения:

1.1. Найдем векторы AB, AC, и A1C:
AB = B - A = (Bx - Ax, By - Ay, Bz - Az),
AC = C - A = (Cx - Ax, Cy - Ay, Cz - Az),
A1C = C1 - A = (C1x - Ax, C1y - Ay, C1z - Az).

1.2. Найдем векторные произведения n1 и n2:
n1 = AB x AC,
n2 = AB x A1C.

1.3. Найдем длины векторов |n1| и |n2|:
|n1| = sqrt(n1x^2 + n1y^2 + n1z^2),
|n2| = sqrt(n2x^2 + n2y^2 + n2z^2).

1.4. Найдем скалярное произведение (n1 * n2):
(n1 * n2) = n1x * n2x + n1y * n2y + n1z * n2z.

1.5. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла α:
cos(α) = (n1 * n2) / (|n1| * |n2|).

Таким образом, мы получим косинус угла между плоскостями АВС и АВС1.

2. Косинус угла между плоскостями АВС и ADC1:

Аналогично, чтобы найти косинус угла между плоскостями АВС и ADC1, мы можем использовать ту же формулу для косинуса угла между двумя векторами:

cos(β) = (n1' * n2') / (|n1'| * |n2'|),

где β - искомый угол, n1' и n2' - нормальные векторы плоскостей АВС и ADC1 соответственно.

Аналогично предыдущему пункту, мы:

2.1. Найдем векторные произведения AB и AC1:
n1' = AB x AC1.

2.2. Найдем векторные произведения AB и A1D1:
n2' = AB x A1D1.

2.3. Найдем длины векторов |n1'| и |n2'|.

2.4. Найдем скалярное произведение (n1' * n2').

2.5. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла β.

Таким образом, мы получим косинус угла между плоскостями АВС и ADC1.

Итак, для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для косинуса угла между двумя векторами, векторное произведение и длины векторов. Полученные значения можно подставить в эти формулы, чтобы найти косинусы углов.