∠A = α + β
Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°, значит
∠D = 180° - (α + β).
Площадь параллелограмма равна произведению двух сторон на синус угла между ними:
S = AB · AD · sinA.
∠ACD = ∠ВАС = α как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущей АС.
Из ΔADC по теореме синусов:
d : sinD = CD : sinβ = AD : sin∠ACD
Так как CD = AB, получаем:
d : sinD = АВ : sinβ = AD : sinα
sinD = sin(180° - (α + β)) = sin(α + β) - по формуле приведения.
Из равенства d : sinD = АВ : sinβ выразим АВ:
AB = d · sinβ / sinD = d · sinβ / sin(α + β)
Из равенства d : sinD = AD : sinα выразим AD:
AD = d · sinα / sinD = d · sinα / sin(α + β)
S = (d · sinβ / sin(α + β)) · (d · sinα / sin(α + β)) · sinA =
= (d² · sinα · sinβ / sin²(α + β)) · sin(α + β) =
= d² · sinα · sinβ / sin(α + β)
8 см.
Объяснение:
Дано: КМРТ - трапеция, КМ=РТ, РН - высота, РН=7 см. Периметр=30 см. Найти КМ.
Трапеция равнобокая и КР⊥МР, значит ∠РКТ=∠МТК=45°.
Проведём РС, РС=МТ, РС║МТ.
ΔКРС - прямоугольный, ∠КРС=90°, ∠РКС=∠РСК=45°, значит РС=КР
КС=МР+КТ
ΔКРН - равнобедренный, т.к. ∠РКТ=∠КРН=45°, значит КН=РН=7 см.
КС=2КН=14 см.
МР+КТ=14 см, значит МК+РТ=30-14=16 см
МК=РТ=16:2=8 см.