Обозначим пирамиду АВСДК, К -вершина. Проведём диагонали основания ВС и ВД. В правильной четырёхугольной пирамиде основание квадрат. Точка пересечения диагоналей -центр квадрата О.Из вершины К опустим высоту к оснванию КО=Н. Обозначим сторону квадрата основания А. Тогда диагональ ВД=А корней из 2. Поскольку сечение по условию -равносторонний треугольник, то ВД=КВ=КД. Обозначим их Х. Тогда КО=Н=корень из((Х квадрат-(Х/2)квадрат)=Х*(корень из 3)/2. Подставляем сюда значение ВД, получим Н=А*(корень из 2)*(корень из 3)/2= А*(корень из 6)/2. Площадь основания равна S=1/2*ВД*Н=1/2*А*(корень из 2 )*А*(корень из 6 )/2. По условию эта площадь равна 6 корней из 3. Приравнивая получим А квадрат=12. Подставляем в ранее найденное выражение, получим Н=3 корня из 2. Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен V=1/3*H*( A квадрат)=1/3*(3 корня из 2)*12=12 корней из 2.
Диагональное сечение пирамиды SАВСД - это сечение (ΔASC или ΔBSD), проходящее через вершину S и диагональ основания AC или BD.
Значит SА=SВ=SС=SД=АС=ВД.
Из равностороннего ΔASC, зная его площадь S=√3*АС²/4, найдем сторону АС (диагональ основания):
АС²=4S/√3=4*6√3/√3=24
АС=2√6.
Тогда сторона основания АВ=АС/√2=2√6/√2=2√3
Также найдем высоту конуса SO (высота ΔASC):
SO=АС*√3/2=2√6*√3/2=3√2
Объем пирамиды V=SO*АВ²/3=3√2*(2√3)²/3=12√2