Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ . Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁. Доказательство: Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) . Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках: АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁. Сравним полученную пропорцию с данной в условии: АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ Значит, АВ₂ = АВ. Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию). Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁. Доказано.
Пусть основание призмы ΔABC: AB =BC =13 , BD =12 высота проведенная к основанию AC Если только одна из её боковых граней квадрат вытекает, что это грань AA₁C₁C . Высота призмы равна : H = AA₁ = BB₁ =C C₁ = AC. Sпол =2*Sосн+Sбок =2*S(ABC) +(2*AB +AC) *H =2*1/2*AC*BD +(2*AB +AC) *AC= AC*BD+(2*AB + AC)*AC = AC(BD +2*AB +AC). Из ΔABD по теореме Пифагора : AD =√(AB² -BD²) =√(13² -12²) =√(169 -144) =√25 =5 . [√(13-12)*(13+12) =√1*25 =5. ] AC =2*AD =10 ( высота BD одновременно и медиана _ свойство в равнобедренном треугольнике ) Sпол =AC(BD +2*AB +AC); Sпол =10*(12 +2*13 +10) = 480 .
Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ .
Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) .
Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках:
АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁.
Сравним полученную пропорцию с данной в условии:
АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁
Значит, АВ₂ = АВ.
Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию).
Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит
ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказано.