Линия задана уравнением p = p(φ) в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, придавая φ значения через промежуток π/4
2) найти ур-ние кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось Ox - с полярной осью.
p=(корень из 2) + 2 cos(φ)
Придадим значения φ через промежуток π/4:
Когда φ = 0, p = √2 + 2cos(0) = √2 + 2
Когда φ = π/4, p = √2 + 2cos(π/4) = √2 + 2 * √2 / 2 = √2 + √2 = 2√2
Когда φ = π/2, p = √2 + 2cos(π/2) = √2 + 2 * 0 = √2
Когда φ = 3π/4, p = √2 + 2cos(3π/4) = √2 + 2 * (-√2 / 2) = √2 - √2 = 0
Когда φ = π, p = √2 + 2cos(π) = √2 + 2 * (-1) = √2 - 2
Когда φ = 5π/4, p = √2 + 2cos(5π/4) = √2 + 2 * (-√2 / 2) = √2 - √2 = 0
Когда φ = 3π/2, p = √2 + 2cos(3π/2) = √2 + 2 * 0 = √2
Когда φ = 7π/4, p = √2 + 2cos(7π/4) = √2 + 2 * √2 / 2 = √2 + √2 = 2√2
Когда φ = 2π, p = √2 + 2cos(2π) = √2 + 2 * 1 = √2 + 2
Таким образом, мы получили следующие координаты точек в системе полярных координат:
(√2 + 2, 0), (2√2, π/4), (√2, π/2), (0, 3π/4), (√2 - 2, π), (0, 5π/4), (√2, 3π/2), (2√2, 7π/4), (√2 + 2, 2π).
2) Чтобы найти уравнение кривой в прямоугольной системе координат, мы будем использовать преобразование координат из полярной системы координат в прямоугольную систему координат.
Преобразование координат:
x = p * cos(φ)
y = p * sin(φ)
Заметим, что начало прямоугольной системы координат совмещено с полюсом, а положительная полуось Ox с полярной осью.
Подставим значение уравнения для p в уравнения преобразования координат:
x = (√2 + 2cos(φ)) * cos(φ)
y = (√2 + 2cos(φ)) * sin(φ)
Раскроем скобки и упростим выражения:
x = √2cos(φ) + 2cos^2(φ)
y = √2sin(φ) + 2cos(φ)sin(φ)
Заметим, что sin(φ) = 1/2 * sin(2φ), поэтому можем записать:
y = √2sin(φ) + 2cos(φ)sin(φ)
= √2sin(φ) + cos(φ) * sin(2φ)
Таким образом, уравнение кривой в прямоугольной системе координат будет следующим:
x = √2cos(φ) + 2cos^2(φ)
y = √2sin(φ) + cos(φ)sin(2φ)