Если я найду площадь S треугольника со стороной a и углами α и β при этой стороне, то площадь подобного ему треугольника, на месте стороны a у которого - сторона b, будет равна S*(b/a)^2; а площадь трапеции, которая получается после "вычитания" второго треугольника из первого, будет равна S*(1 - (b/a)^2); поэтому для начала я буду вычислять площадь S; Из теоремы синусов легко найти стороны. Пусть напротив угла β лежит сторона c; тогда c/sin(β) = a/sin(π- α - β); или c = a*sin(β)/sin(α + β); Между a и c - угол α, поэтому S = a^2*sin(α)*sin(β)/(2*sin(α + β)); по сути это уже ответ, площадь трапеции равна (a^2/2 - b^2/2)*sin(α)*sin(β)/sin(α + β); Ну, если подставить числа, там получается прямоугольный треугольник (если продолжить боковые стороны). Значит, ответ (36 - 4)*(1/2)*(√3/2)/2 = 4√3 можно получить и другим то есть проверить его верность.
Центр вписанной окружности треугольника = точка пересечения его биссектрис. В правильном треугольнике биссектрисы, высоты и медианы совпадают. По свойству медианы треугольника, точкой пересечения они делятся в соотношении 2:1 Поэтому радиус вписанной окружности правильного треугольника равен 1/3 длины высоты. r = h/3 Отсюда h = 3r = 3×2√3 = 6√3 Высота правильного треугольника образует с его сторонами прямоугольный треугольник. Угол, противолежаший высоте, равен 60°, сторона правильного треугольника является гипотенузой Отсюда длина стороны треугольника: a = h / sin 60° = 6√3 / (√3/2) = 12
Трапеция АВСД, АВ=СД, радиус=1/2 высоты = 2 х корень14
Проводим высоты ВН и СМ на АД, ВН=СМ= 2 х 2х корень14=4 х корень14
Треугольник АВН=треугольнику СМД по катету и гипотенузе, АН=МД=а
ВС=НМ, АД=а+а+НМ(ВС)=2а+ВС
АД-ВС=20
2а+ВС-ВС=20, а=10=АН=МД
Треугольник АВН прямоугольный, АВ= корень (АН в квадрате + ВН в квадрате)=
= корень (100+224)=18=АВ=СД
Окружность можно вписать в трапецию, когда сумма боковых сторон=сумме оснований
АВ+СД=18+18=36=АД+ВС
36= 20 + 2ВС
ВС=8
АД=20+8=28