1. Треугольники АВС и А1В1С1 подобны с коэффициентом подобия, равным отношению сходственных сторон. k=ВС/В1С1 = 4/8 = 1/2.
Периметр Рa1b1c1 = 3+8+9 = 20см.
В подобных треугольниках периметры относятся как коэффициент подобия. Тогда Рabc = Рa1b1c1*k = 20/2 = 10 см.
2. Треугольник КСР подобен треугольнику АСВ по двум углам (<CKP=<CAB и <CPK=<CBA как соответственные углы при параллельных прямых КР и АВ и секущих АС и ВС соответственно. Из подобия: КС/АС = КР/АВ = 5/25 = 1/5.
Тогда КС = АС*(1/5) = 30/5 = 6 см. АК = АС - КС = 30-6 = 24 см.
3. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон (свойство). То есть
АС/АВ = СК/КВ => AC = AB*CK/KB = 12*18/8 = 27см.
4. Сторона АС = AD+DC = 9+16 = 25 см.
BD - высота из прямого угла и по ее свойствам имеем:
АВ = √АС*AD = √(25*9) = 15см.
ВС = √АС*DС = √(25*16) = 20см.
Периметр треугольника АВС - сумма его трех сторон - равен 60см.
Катеты равны:a = c*sin α и b=c*cosα.
Площадь основания So =(1/2)ab = (1/2)*(c*sin α) *(c*cos α).
Домножим числитель и знаменатель на 2:
So = c²sin(2α)/4.
Переходим к определению высоты пирамиды.
Высоты боковых граней и их проекции на основание равны соответственно между собой. Последние -это радиусы r вписанной в основание окружности. Для прямоугольного треугольника:
r = (a + b - c)/2 = (c*sin α + c*cosα - c)/2 = c*(sin α + cosα - 1)/2.
Высота пирамиды равна: Н = r*tg β = (c*(sin α + cosα - 1)*tg β)/2.
Объём пирамиды равен:
V = (1/3)SoH = (1/3)*(c²sin(2α)/4)*((c*(sin α + cosα - 1)*tg β)/2) =
= (c³sin(2α))*(sin α + cosα - 1)*tg β)/24.