r = 6 см
см
Объяснение:
Трапеция вписана в окружность, значит она равнобедренная.
AB = CD.
Трапеция описана около окружности, значит суммы противоположных сторон равны.
AB + CD = AD + BC = 24 + 6 = 30 см
AB = CD = 30 : 2 = 15 см
Проведем высоту СН.
По свойству равнобедренной трапеции отрезок HD равен полуразности оснований:
HD = 0,5 · (AD - BC) = 0,5 · (24 - 6) = 0,5 · 18 = 9 см
ΔCHD: ∠CHD = 90°, по теореме Пифагора
CH = √(CD² - HD²) = √(15² - 9²) = √(225 - 81) = √144 = 12 см
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты.r = 0,5 CH = 0,5 · 12 = 6 см
ΔCHD: ∠CHD = 90°
Из ΔACD по теореме косинусов:
AC² = AD² + CD² - 2 · AD · CD · cosα
AC² = 24² + 15² - 2 · 24 · 15 · 0,6
AC² = 576 + 225 - 432 = 369
AC = √369 = 3√41 см
Треугольник ACD вписан в ту же окружность, что и трапеция.
По следствию из теоремы синусов:
см
=
+ sinα*cosα=( сокращаем на sinα-cosα)=
=-1(cos²α+cosα*sinα+sin²α)+sinα*cosα =( раскроем скобки)=
=-cos²α - cosα*sinα- sin²α+sinα*cosα =( приведем подобные слагаемые)=
=-cos²α -sin²α=( вынесем "-" за скобки)=
=-(cos²α +sin²α) =-1