Гульсарочка как то вокруг решения ходит :) Диагонали у параллелограмма не равны, только у прямоугольника.
Вот как можно поступить. Берется прямоугольный треугольник со стронами 5,12,13. На катете 12 от вершины прямого угла откладывается отрезок, равный малому катету, то есть 5, и соединяется с противоположной вершиной треугольника. Получился треугольник со сторонами 12 - 5 = 7, 13 и 5*корень(2).
Вот на такие два треугольника и делит заданный параллелограмм диагональ длинны 13. Можно легко достроить его, проведя 2 линии, параллельные сторонам этого треугольника, через противоположные вершины.
Площадь такого параллелограмма равна 5*7 = 35.
Вот какая штука. В моем решении (и - между прочим, в решении Гульсарочки!) вторая сторона параллелограмма получается 5*корень(2), что больше 7 (совсем немного, но - больше). Поэтому вторая высота (проведенная к этой стороне) - меньше 5 (произведение высоты на сторону равно площади). Поэтому мое решение не соответствует условию, в котором сказано, что 13 - наибольшая из диагоналей, а 5 - наименьшая из высот.
В решении же Гульсарочки, которое получается, если от вершины прямого угла откладывается отрезок, равный 5, вдоль продолжения катета 12, то есть длина стороны параллелограмма равна 12 + 5 =17. Это решение ничем не хуже и не лучше моего, поскольку тоже не удовлетворяет всему условию :) - в этом случае диагональ 13 не наибольшая.
Обозначим параллелограмм АВСD. Проведем высоты из вершин острых углов параллелограмма. Они пересекутся с продолжениями сторон. СТ- высота к АD , АК - высота к СD. Прямоугольные треугольники АКD и СТD подобны по равному острому углу при D ( они вертикальные). k=AK:CT=2. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия. ⇒ S(AKD)=4S(CTD)
Из ∆ АСТ по т.Пифагора АТ=5. Из ∆ АСК по т.Пифагора СК=4. Площадь половины параллелограмма S(АСD)=S(ACT)-S(CTD). Она же равна S(ACK)-S(AKD) Подставим в уравнения известные значения и приравняем их. 0,5•5•√3 - S(CTD)=0,5•4•2√3 -4S(СТD), откуда получим S(CTD)=(3√3):6=0,5√3
Ѕ АВСD=2•S(ACD)=2•[(0,5•5•√3-0,5√3)]=4√3 ⇒ S²=(4√3)²=48