Не могу нарисовать рисунок, но попытаюсь объяснить.
Пусть имеется прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC и прямым углом при вершине В.
Пусть точка О – пересечение заданных биссектрис. Один из углов при О = 100 градусов
Вариант 1.
Расcмотрим треугольник ABO. Угол AOB=100, угол ABO=45 (потому что BO – биссектриса угла В, который 90 град)
Тогда угол BAO=180-100-45=35
Угол BAC вдвое больше BAO и равен 35*2=70.
Оставшийся уголACB =180-90-70=20.
Вариант 2.
(если вдруг возникнет иллюзия считать, что распределение углов при точке О другое – то есть 100 град = угол AOD, где точка В – точка пересечения биссектрисы из вершины B со стороной AC, То в таком случае:
Всё равно рассмотрим треугольник ABO. Только угол AOB=180-100=80. угол ABO всё равно 45 (потому что BO – биссектриса угла В, который 90 град)
Тогда угол BAO=180-80-45=55.
Угол BAC в этом случае вдвое больше BAO и равен 55*2=110. И тут упс – сумма двух углов начального прямоугольного треугольника уже становится больше 180, а ведь есть ещё и третий угол. Поэтому распределение углов при точке О только такое, как в первом варианте решения. Второй вариант нежизне
1) Отразим рисунок относительно прямой AB, окружности перейдут сами в себя, а K – перейдёт в точку K', симметричную относительно прямой AB. Если K не лежит на AB, то K и K' не совпадают, и K' – тоже точка касания, чего быть не может.
2) Радиусы, проведённые в точку касания, перпендикулярны касательной, поэтому AN и BM перпендикулярны NM, а тогда параллельны, ANMB – прямоугольная трапеция.
Проведём высоту трапеции AD. ANMD – прямоугольник, поэтому MD = AN = r, тогда BD = 2r. Кроме того, AB = AK + KB = 4r, поэтому ∠DAB = 30° (противолежащий катет равен половине гипотенузы), а по теореме Пифагора 
.
Площадь трапеции ANMB равна 
Площадь сектора KAN с центральным углом 90° + 30° = 120° = π/3 равна 
Площадь сектора KBM с центральным углом 90° - 30° = 60° = π/6 равна 
Площадь искомой фигуры
Чертеж во вложении.
Решение.
1) Так как треугольник АВС равнобедренный, следовательно угол А= углуВ.По сумме углов тр-ка уголА+уголВ=180-120=60.
2) Так как уголА=углуВ, то уголА=60:2=30.
3) Проведем высоту СD . Угол CDA=90, а угол А=30. Следовательно,
.
CD=12/2=6 см.
ответ: 6см.