0)
Дана правильная шестиугольная пирамида ABCDEFO с высотой ОН.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АНО.
АО=13, ОН=12.
АН=5, следовательно АВ=ВС=...=AF=5 (сторона прав. 6-угольника равна радиусу опис. окр.)
Sосн = (3 корня из 3) *a^2 / 2
S = 37,5 корней и з3
Vпир = 1/3 * Sосн * H
V = 150 корней из 3.
1)
Да, получается 120, т.к. объем конуса в 3 раза меньше объема цилиндра.
2)
Дана правильная треугольная приамида ABCD с высотой DO.
Рассмотрим треугольник АВС - равносторонний.
Проведем медиану (высоту и бис-су) АК.
ВК=КС=корень из 3.
Рассмотрим треугольник АКС - прямоугольный.
Найдем АК по т.Пифагора.
АК = 3. Следовательно АО = 2 (медианы точкой пересечения делятся 2:1, считая от вершины).
Рассмотрим треугольник AOD - прямоугольный.
Угол DAO = 60, следовательно угол ADO = 30.
Катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.
AD = 4.
DO = 2 корня из 3
Радиус описанной окружности около правильного треугольника равен
r = a / корень из 3
r = 2
Vкон = 1/3 * пи *r^2 *H
V = 8корней из 3 / 3 пи
Рассмотрим треугольники АКС и СМА
Оба они - прямоугольные, имеют общую гипотенузу АС и равные острые углы:
∠А=∠С , т.к. треугольник АВС - равнобедренный и углы при основании АС равны.
Прямоугольные треугольники. в которых равны гипотенуза и острый угол - равны.
Из равенства этих треугольников следует, что
равны и треугольники АКМ и СКМ.
В этих треугольниках равны три стороны.
АМ=КС, АК=СМ, а КМ - общая.
Следовательно, углы КСМ=МАК
Но так как ∠А=∠С, то ∠ А - ∠МАК= ∠С- ∠КСМ.
Мы доказали равенсто углов КСА= МАС
Треугольники АОС и КОМ равнобедренные и подобны,
так как имеют равные стороны КО=ОМ, ОС=ОА, ∠ КОМ=∠АОС как вертикальные, и отсюда углы при основаниях этих треугольников равны ( 180 - ∠АОС):2.
Из подобия равнобедренных треугольников следует, что углы МКС=КСА и КМА=МАС.
Но эти углы - накрестлежащие при КМ и АС и секущих КС и МА.
Следовательно, КМ||АС, что и требовалось доказать.