4. а) Определить координаты точки О (центр гомотетии) отрезков АВ и А1В1, если А(6; -2), В (8; 6) и А1(3; -1), В1(4; 3). б) Определить коэффициент подобия треугольников АВС и А1В1С1, если ОА = 3см, ОА1 = 9 см, ОВ = 2 см, ОВ1 = 6 см, ОС = 4 см, ОС1 = 12 см.
в) Построить произвольный треугольник АВС с центром гомотетии О. Определить положение точек А1, В1, С1, зная, что коэффициент гомотетии равен 3.
а) Если боковая грань перпендикулярна основанию, то высота лежит в этой грани.
Значит основание высоты - точка Н - лежит на гипотенузе.
Проведем из точки Н перпендикуляры НК и НМ к катетам АС и ВС.
НК и НМ - проекции наклонных SK и SM на плоскость основания, значит SK⊥AC и SM⊥BC по теореме о трех перпендикулярах. Тогда
∠SKH = ∠SMH = β - углы наклона боковых граней к плоскости основания.
Треугольники КSH и МSH прямоугольные, катет SH общий, и равны углы, противолежащие этому катету, значит
ΔКSH = ΔМSH по катету и противолежащему острому углу, ⇒
КН = МН, значит СМНК - квадрат, СН - его диагональ, значит и биссектриса треугольника АВС. А так как треугольник равнобедренный, то и медиана, ⇒АН = ВН.
б) КН - средняя линия ΔАВС, так как проходит через середину АВ и параллельна ВС.
КН = а/2.
ΔSKH: tgβ = SH / HK
SH = HK · tgβ = a/2 · tgβ