Question

Найдите на рисунке пары равных треугольников и докажите их равенство, используя первый признак равенства треугольников.

Answer 1

1. АО = ОС по условию,

ВО = OD по условию,

∠АОВ = ∠COD как вертикальные, ⇒

ΔАОВ = ΔCOD по двум сторонам и углу между ними.

2. NK = KP по условию,

∠MNK = ∠EPK по условию,

∠MKN = ∠ЕКР как вертикальные, ⇒

ΔMKN = ΔЕКР по стороне и двум прилежащим к ней углам.

3. АВ = AD по условию,

∠ВАС = ∠DAC по условию,

АС - общая сторона для треугольников ВАС и DAC, ⇒

ΔВАС = ΔDAC по двум сторонам и углу между ними.

4. ВС = AD по условию,

∠CBD = ∠ADB по условию,

BD - общая сторона для треугольников CBD и ADB, ⇒

ΔCBD = ΔADB по двум сторонам и углу между ними.

5. ∠MDF = ∠EDF по условию,

∠MFD = ∠EFD по условию,

DF - общая сторона для треугольников MDF и EDF, ⇒

ΔMDF = ΔEDF по стороне и двум прилежащим к ней углам.

6.

а) ∠МАВ = ∠NBA по условию,

∠МВА = ∠NAB по условию,

АВ - общая сторона для треугольников МАВ и NBA, ⇒

ΔМАВ = ΔNBA по стороне и двум прилежащим к ней углам.

б) АМ = BN из равенства ΔМАВ = ΔNBA (см. п. а))

∠АМН = ∠ВNН из равенства ΔМАВ = ΔNBA,

∠МАН = ∠МАВ - ∠НАВ

∠NBH = ∠NBA - ∠HBA, а так как ∠МАВ = ∠NBA по условию и ∠НВА = ∠НAB по условию, то и

∠MAH = ∠NBH, ⇒

ΔMAH = ΔNBH по стороне и двум прилежащим к ней углам.

7. МК = PN по условию,

MN = PK по условию,

NK - общая сторона для треугольников MNK и PKN, ⇒

ΔMNK = ΔPKN по трем сторонам.

8. ∠ABD = ∠CDB по условию,

∠ADB = ∠CBD по условию,

BD - общая сторона для треугольников ABD и CDB , ⇒

ΔABD = ΔCDB по стороне и двум прилежащим к ней углам.

9. ∠САВ = ∠EFD по условию,

∠АВС = ∠EDF по условию,

АВ = AD + DB

FD = FB + DB, а так как AD = BF по условию, то и

АВ = FD, ⇒

ΔСАВ = ΔEFD по стороне и двум прилежащим к ней углам.

10.

а) АС = ВС по условию,

∠СВЕ = ∠CAD по условию,

угол при вершине С - общий для треугольников СВЕ и CAD, ⇒

ΔСВЕ = ΔCAD по стороне и двум прилежащим к ней углам.

б) ∠ADC = ∠BEC из равенства треугольников СВЕ и CAD, ⇒

∠BDF = ∠AEF как смежные с равными углами,

∠DBF = ∠EAF по условию,

BD = BC - DC

AE = AC - EC, а так как ВС = АС по условию, и DC = EC из равенства треугольников СВЕ и CAD, то и BD = AE, ⇒

ΔBDF = ΔAEF по стороне и двум прилежащим к ней углам.

11. КН = ЕН по условию,

FK = PE по условию,

∠FKH = ∠PEH как смежные с равными углами, ⇒

ΔFKH = ΔPEH по двум сторонам и углу между ними.

12. DE = CE по условию,

∠ADE = ∠BCE как смежные с равными углами,

∠AED = ∠BEC как вертикальные, ⇒

Answer 2

а) 1) АВ = AD - по условию

2) AC - общая сторона

3) углы BAC=CAD

Следовательно, треугольники BAC и CAD равны по двум сторонам и углу между ними (по 1 признаку)

б) 1) AO=OC - по условию

2) BO= OD - по условию

3) углы AOB = COD - т.к. они вертикальные

Следовательно треуголбники AOB и COD равны по 1 признаку

в) 1) угол FAC = угол GBE по условиб

Угол DAC = 180 - FAC - т.к. углы DAC и FAC - смежные (сумма смежных углов равна 180)

Угол DBE = 180 - GBE - т.к углы DBE и GBE - смежные.

А т.к. углы FAC и GBE равны, то и углы DBE и DAC равны.

AD= DB, AC = BE - по условию

Следовательно, треугольники ACD и DBE равны по 1 признаку ( по двум сторонам и углу между ними)

г) 1) DC = AB - по условию

2) CB - общая сторона

3) углы ABC и DCB равны по условию

Следовательно треугольники CDB и ABC равны по 1 признаку