Проведем высоты трапеции ВК и DН (см. рисунок). Рассмотрим прямоугольный треугольник DHC, гипотенуза СD=7√3. По условию угол ВСD равен 30°. В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. DH=7√3/2. А значит и ВК=7√3/2
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВК, АВ- гипотенуза, угол АВК равен 30°. По условию угол АВC равен 120°, по построению ( ВК высота, перпендикуляр к AD, а значит и к параллельной ей прямой ВС) угол КВС равен 90°.
Пусть АВ=х, тогда катет АК=х/2- катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы. По теореме Пифагора АВ²=АК²+ВК² х²=(х/2)²+(7√3/2)², 3х²/4=49·3/4, х²=49, х=7
Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно l=p-c.Итак, AM=4,5-2=2,5; ВN=ВМ=4,5-3=1,5(ВN=ВМ равны, как касательные из одной точки к окружности) и CN=4,5-4=0,5. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Отсюда найдем косинусы углов В и С нашего треугольникаИтак,АС²=АВ²+ВС²-2АВ*ВС*CosB. Или 9=16+4-16*CosB, откуда CosB=11/16.АВ²=АС²+ВС²-2*АС*ВС*CosС или 16=9+4-12*CosС, откуда CosС=-1/4. (угол С - тупой). Теперь по этим же формулам найдем стороны MN и AN.MN²=2*ВМ²-2*ВМ²*CosB=4,5-4,5*11/16 = 1,4. MN=1,18AN²=АС²+CN²-2*АС*CN*CosС=9+0,25+2*9*0,25*1/4 = 10,375. MN=3,22.И теперь, зная все три стороны треугольника AMN, найдем его площадь по формуле Герона:S=√[(p-a)(p-b)(p-c)*p]=√(0,5*2,5*1,5*4,5)=√8,4375 = 2,9.
Рассмотрим прямоугольный треугольник DHC, гипотенуза СD=7√3.
По условию угол ВСD равен 30°.
В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.
DH=7√3/2.
А значит и ВК=7√3/2
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВК, АВ- гипотенуза, угол АВК равен 30°.
По условию угол АВC равен 120°, по построению ( ВК высота, перпендикуляр к AD, а значит и к параллельной ей прямой ВС) угол КВС равен 90°.
Пусть АВ=х, тогда катет АК=х/2- катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы.
По теореме Пифагора АВ²=АК²+ВК²
х²=(х/2)²+(7√3/2)²,
3х²/4=49·3/4,
х²=49,
х=7
ответ АВ=7