Решение: Пусть О – центр окружности, пусть Р – ближняя из точек пересечения окружности и отрезка АО. Пусть N – точка пересечения
Тогда прямоугольные треугольники OAC и ОAB равны за катетом и гипотенузой(ОF=ОA, ОC=ОB – как радиусы).Значит из равности треугольников,AC=AB
угол АOC=угол AOB(то же самое угол РOC=угол РOB)
угол OAC=угол OAB(то же самое угол OРC=угол OРB ), значит АP – биссектриса угла А,(то же самое, что AN - биссектриса угла А )
AC=AB – значит треугольник ABC – равнобедренный
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, есть его высотой и медианой
треугольник ABC – равнобедренный, AN - биссектриса угла А, значит
угол ANB= угол ANC=90 градусов
треугольник BOP – равнобедренный (BO=OP – как радиусы),
значит угол PBO= угол BPO
Пусть угол BOA= угол BOP= угол BON=х.
Сумма углов треугольника равна 180.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.
Тогда с треугольника BOP
угол PBO= угол BPO=(180 -х)\2=90-х\2
с треугольника AOB угол OAB=90-х
угол ABP= угол OAB- угол PBO=90-х-(90-х\2)=x\2
угол PBN=90-угол OAB- угол ABP=90-(90-x)-x\2=x\2
угол ABP= угол PBN, значит BP – биссектриса угла B.
Итак, точка P- точка пересечения биссектрис треугольника ABC, что и требовалось доказать.
Доказательство: предположим, что на плоскости, которой принадлежат и прямая, и точка, таких перпендикуляров существует два. Поскольку точка вне прямой принадлежит обоим перпендикулярам, получаем треугольник с вершиной в этой точке и основанием, расположенном на прямой. Так как оба перпендикуляра составляют с прямой углы по 90° (углы при основании треугольника) плюс угол при вершине, то сумма внутренних углов такого треугольника получается больше 180°, - а это на плоскости осуществить невозможно. Следовательно, наше предположение о том, что через одну точку к данной прямой на плоскости можно провести больше одного перпендикуляра, - не верно и такой перпендикуляр существует только один. Теорема доказана.
PS построения не сложные. - прямая, 2 точки на ней, одна точка вне прямой и два отрезка, соединяющие эту точку с точками на прямой..))) Но, если очень надо, - то файлик внизу с рисунком..)) И еще. Упоминание о том, что все это происходит на плоскости, - желательно. Дело в том, что всем нам с детства знакомы меридианы на географической сетке Земного шара. Так вот каждый меридиан перпендикулярен экватору, и все меридианы сходятся аж в двух точках : в Северном и Южном полюсах