1. Даны точки А, В и С. А(0;5;-8), В(2;-2;0), С(3;0;-5). Найдите скалярное произведение векторов АВ и АС 2. Дан треугольник АВС, А(-1;2;1), В(2;-1;1), С(0;-2;1). Найдите косинус угла ВАС
3. Даны векторы: а{-2;1;-5}, в{2;0;-1}. Найдите координаты вектора (2а + 3в)
Вектор АВ имеет координаты (2-0; -2-5; 0-(-8)) = (2; -7; 8)
Вектор АС имеет координаты (3-0; 0-5; -5-(-8)) = (3; -5; -3)
Теперь найдем скалярное произведение векторов АВ и АС:
(2 * 3) + (-7 * -5) + (8 * -3) = 6 + 35 - 24 = 17
Таким образом, скалярное произведение векторов АВ и АС равно 17.
2. Чтобы найти косинус угла ВАС, нужно воспользоваться формулой косинусов:
cos(угол ВАС) = (AB * AC) / (|AB| * |AC|)
где AB и AC - векторы, а |AB| и |AC| - их длины.
Вычислим значения:
Вектор AB имеет координаты (2-(-1); -1-2; 1-1) = (3; -3; 0)
Длина AB = √(3^2 + (-3)^2 + 0^2) = √(9 + 9) = √18
Вектор AC имеет координаты (0-(-1); -2-2; 1-1) = (1; -4; 0)
Длина AC = √(1^2 + (-4)^2 + 0^2) = √(1 + 16) = √17
Теперь вычислим косинус угла ВАС:
cos(угол ВАС) = ((3 * 1) + (-3 * -4) + (0 * 0)) / (√18 * √17)
cos(угол ВАС) = (3 + 12) / (√18 * √17)
cos(угол ВАС) = 15 / (√18 * √17)
cos(угол ВАС) ≈ 0.911
Таким образом, косинус угла ВАС примерно равен 0.911.
3. Чтобы найти координаты вектора (2а + 3в), нужно умножить каждую координату вектора а на 2 и каждую координату вектора в на 3, а затем сложить соответствующие получившиеся произведения.
(2а + 3в) = (2 * -2 + 3 * 2; 2 * 1 + 3 * 0; 2 * -5 + 3 * -1) = (-4 + 6; 2 + 0; -10 + (-3)) = (2; 2; -13)
Таким образом, координаты вектора (2а + 3в) равны (2; 2; -13).