Решение: Пусть ABCD – данная трапеция, AB||CD,AD=BC,AB<CD.
Угол ADC=угол BCD=a
Пусть О – центр вписанной в трапецию окружности. K, L, M, N – точки касания окружности со сторонами AB,BC,CD,AD соотвеcтвенно.
Площадь трапеции равна (AB+CD)\2*2r=(AB+CD)*r.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис.
Угол ODC=угол OCD=а\2
Угол OAB=угол OBA =90-а\2.
Далее по свойству суммы углов четырехугольника (сумма равна 360, один из улов а или 180-а, два других по 90)
Угол KON= угол MON=180-а.
Угол KOL= угол MOL=a.
Площадь KLMN равна 4*1\2*r^2*sin a=2*r^2*sin a (площадь четырех равновеликих треугольников , две стороны равны радиусам, синусы углов равны sin а).
DN=CN=r*ctg (a\2), CD=2*r*ctg (a\2).
AL=BL=r*ctg(90-a\2)=r*tg (a\2), AB=2*r*tg (a\2)
Площадь трапеции ABCD равна (AB+CD)*r=(2*r*ctg (a\2)+2*r*tg (a\2))*r=
2*r^2*(tg(a\2)+ctg(a\2))).
площадь четырехугольника с вершинами в точках касания занимает процент площади трапеции
2*r^2*sin a\(2*r^2*(tg(a\2)+ctg(a\2))) *100%=
=sin a\(tg (a\2)+ctg(a\2))*100%=
=sin a*tg (a\2)\ (tg^2 (a\2)+1)*100 %=(sin a^2 * 50) %
ответ: (sin a^2 * 50) %
65° и 115°
Объяснение:
Углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными, а углы 3 и 6, 4 и 5 называются односторонними (см. рисунок). Заметим, что в таком случае углы 2 и 6 равны: ∠2 = ∠6.
По условию разность двух односторонних углов, то есть ∠6 и ∠3, при пересечении двух параллельных секущей равна 50 градусам:
∠6 - ∠3 = 50°. Тогда по замечанию ∠2 - ∠3 = ∠6 - ∠3 = 50°.
Но углы 2 и 3 смежные и поэтому ∠2 + ∠3 = 180°
Имеем систему равенств:
∠2 - ∠3 = 50° (1)
∠2 + ∠3 = 180° (2)
Из уравнения (1) выразим ∠2 через ∠3:
∠2 = 50° + ∠3
Подставим выражение ∠2 в (2):
50° + ∠3 + ∠3 = 180° или
2·∠3 = 180° - 50° или
2·∠3 = 130° или
∠3 = 130° : 2 = 65°.
Тогда ∠2 = 50° + ∠3 = 50° + 65° = 115°
ответ: 65° и 115°