Question

Найдите координаты вектора m,если вектор m перпендикулярен вектору k и вектор k имеет координаты (2;-1),модуль вектора m=корень из 80 и угол между вектором m и осью Оу тупой.
с решением

Answer 1

Для решения этой задачи мы будем использовать основные свойства векторов и тригонометрии.

Пусть вектор m имеет координаты (x; y).

Условие задачи говорит нам, что вектор m перпендикулярен вектору k. Это значит, что их скалярное произведение равно нулю:

m · k = x * 2 + y * (-1) = 0

У нас также есть информация о координатах вектора k: (2; -1).

Теперь выберемся уравнение для модуля вектора m, используя формулу длины вектора:

| m | = √(x^2 + y^2) = √80

Из этого уравнения мы можем получить выражение для x:

x^2 + y^2 = 80

x^2 = 80 - y^2

Теперь у нас есть два уравнения:

1) x * 2 + y * (-1) = 0
2) x^2 + y^2 = 80 - y^2

Решим первое уравнение относительно x:

x = y / 2

Теперь заменим x во втором уравнении на y / 2:

(y / 2)^2 + y^2 = 80 - y^2

y^2 / 4 + y^2 = 80 - y^2

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:

y^2 + 4y^2 = 320 - 4y^2

5y^2 = 320 - 4y^2

9y^2 = 320

y^2 = 320 / 9

y^2 ≈ 35.56

y ≈ √35.56 ≈ 5.97 (округляем до двух знаков)

Теперь найдем x, заменив значение y в выражении x = y / 2:

x ≈ 5.97 / 2 ≈ 2.98 (округляем до двух знаков)

Итак, координаты вектора m примерно равны (2.98; 5.97).

Осталось проверить условие об угле между вектором m и осью Оу. Угол между вектором и осью Оу равен тупому углу, если и только если скалярное произведение вектора m и вектора (0; 1) отрицательно.

Подставим вектор (2.98; 5.97) и (0; 1) в формулу скалярного произведения:

(2.98 * 0) + (5.97 * 1) = 0 + 5.97 ≈ 5.97

Так как скалярное произведение положительное число, угол между вектором m и осью Оу не тупой.

Таким образом, координаты вектора m примерно равны (2.98; 5.97), и угол между вектором m и осью Оу не тупой.