1) Из ΔАВС: <C=90, <B=30, <A=180-90-30=60. найдем гипотенузу АВ=АС :cos A=1: 1/2=2 катет ВС=√АВ²-АС²=√4-1=√3 Т.к. СD - медиана, то АD=DB=AB/2=2/2=1 2) Рассмотрим Δ ADC, в нем AC=AD=1, значит он равнобедренный и углы при основании равны: <ACD=<ADC=(180-<CAD)/2=(180-60)/2=60. Все 3 угла равны по 60 градусов, значит Δ ADC -равносторонний AC=AD=DC=1 3) Рассмотрим Δ СDВ, в нем CD=DB=1, <DCB=<DBC=30, тогда <CDB=180-30-30=120. 4) Рассмотрим Δ СDF, в нем <CDF=120-<BDF=120-15=105. <CFD=180-<DCB-<CDF=180-30-105=45. По теореме синусов стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, значит CD/sin 45 =DF/sin 30=CF/sin 105 DF=CD*sin 30/sin 45=1*1/2 / (√2/2)=1/√2 Площадь ΔCDF S=1/2*СD*DА*sin 105=1/2*1*1/√2*(√6+√2)/4=(√3+1)/8 sin 105=sin(60+45)=sin60cos45+cos60sin45=√3/2*√2/2+1/2*√2/2=(√6+√2)/4
Пока делала рисунки и решала, решение дали. Но второе решение с рисунками не повредит. Плоскость, расстояние до которой от А следует найти - это плоскость ТВА₁. Расстояние от точки до плоскости измеряется перпендикуляром, проведенным из этой точки к плоскости. Искомое расстояние - отрезок АК, перпендикулярный плоскости ТВА₁. Рассмотрим рисунок. ТВ отсекает от основания куба 1/4 часть. Площадь треугольника АТВ=1*1:4=1/4 Фигура АТВА₁ - пирамида с основанием ТВА₁ и высотой АК, которая является и расстоянием от А до плоскости ВТА₁. В вершине А пирамиды сошлись части ребер трёх граней куба. Объем этой пирамиды S АВТ*АА₁:3=1/3*(1*1/4)=1/12 объема куба. Рассмотрим треугольник ВТА₁ -основание этой пирамиды. Он равнобедренный: ТА₁=ТВ ВА₁ - диагональ боковой грани - квадрата со стороной 1 и равна ВА₁=√2 ТА₁=ВТ По теореме Пифагора ТВ²=АВ²+АТ²=1,25 ТВ=√1,25=0,5√5=≈1,12 V=Sh:3=1/12 S треугольника ВТА₁ по формуле Герона равна ≈ 0,61354 Высота пирамиды вычисляется из формулы объема: h=3V:S=1/4:0,61354=0,25:0,61354=0,407 Искомое расстояние от А до плоскости сечения ≈0,407
найдем гипотенузу АВ=АС :cos A=1: 1/2=2
катет ВС=√АВ²-АС²=√4-1=√3
Т.к. СD - медиана, то АD=DB=AB/2=2/2=1
2) Рассмотрим Δ ADC, в нем AC=AD=1, значит он равнобедренный и углы при основании равны: <ACD=<ADC=(180-<CAD)/2=(180-60)/2=60.
Все 3 угла равны по 60 градусов, значит Δ ADC -равносторонний AC=AD=DC=1
3) Рассмотрим Δ СDВ, в нем CD=DB=1, <DCB=<DBC=30,
тогда <CDB=180-30-30=120.
4) Рассмотрим Δ СDF, в нем <CDF=120-<BDF=120-15=105.
<CFD=180-<DCB-<CDF=180-30-105=45.
По теореме синусов стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, значит
CD/sin 45 =DF/sin 30=CF/sin 105
DF=CD*sin 30/sin 45=1*1/2 / (√2/2)=1/√2
Площадь ΔCDF S=1/2*СD*DА*sin 105=1/2*1*1/√2*(√6+√2)/4=(√3+1)/8
sin 105=sin(60+45)=sin60cos45+cos60sin45=√3/2*√2/2+1/2*√2/2=(√6+√2)/4