Можно объяснить, почему высота прямоугольного треугольника равна произведению проекций катетов на гипотенузу?
Можно. Только не высота равна, а ее квадрат. И Вы сами наверняка не раз выводили это свойство при решении задач.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла,
есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится
гипотенуза этой высотой.
Оно выведено из подобия треугольников, на которые высота, проведенная к гипотенузе,
делит исходный прямоугольный треугольник. Рассмотрим треугольники АСН и СНВ
Смотрим рисунок.
∠ АСН=90 -∠НСВ
∠ НВС=90 -∠НСВ
Если в прямоугольных треугольниках есть равные острые углы, то такие треугольники подобны.
Треугольники АНС и СНВ подобны
Меньший катет АН первого треугольника относится к меньшему катету СН второго треугольника,
как больший катет СН первого относится к большему катету НВ - второго.
АН:СН=СН:НВ
АН·НВ=СН²,
.
а АН и НВ - это и есть проекция катетов на гипотенузу
Рассмотрим окружность с центром в точке О. ОА и ОВ - радиусы окружности, поэтому OA=OB. По теореме о касательных (две пересекающиеся касательные равны) эти треугольники равны по углу (угол радиуса к касательной всегда прямой по свойству касательной) и прилежащим к ней сторонам, а отсюда следует, что углы АМО и ОМВ равны (только они как-бы в зеркальном оторбражении). (1)
Кроме того, по правилу зеркальной симметрии, OB = BC, а также углы BMC и OMB равны. (2)
Следует отметить, что угол AMC содержит все три угла.
Из (1) и (2) следует, что углы АМО, BMC и ОМВ равны, а значит, если считать один их этих углов равным одной части, то весь угол AMC равен трём частям.
Иными словами, AMC = 3BMC, что и требовалось доказать.
255047272772445755522355444444444525522235235555553544558342.4617841651