Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а медиана, заключённая между ними, равна 5.
▔ ▔ ▔
★☆★ Чертёж смотрите во вложении ★☆★
Дано:ΔАВС.
АВ = 6.
ВС = 8.
ВО — медиана = 5.
Найти:S(ΔАВС) = ?
Решение:Достроим ΔАВС до параллелограмма ABCD как показано на рисунке.
▸Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам◂
Следовательно —
Тогда —
▸Противоположные стороны параллелограмма равны◂
AD и ВС — противоположные стороны.
Следовательно —
Рассмотрим ΔABD.
▸Если сумма квадратов двух сторон равна квадрату большей стороны, то такой треугольник — прямоугольный (теорема, обратная теореме Пифагора)◂
Проверим стороны ΔABD —
Подставим известные нам численные значения —
Мы получили верное равенство, следовательно, ΔABD — прямоугольный (∡A = 90°).
▸Если в параллелограмме один угол прямой, то этот параллелограмм — прямоугольник◂
То есть, параллелограмм ABCD — прямоугольник.
Тогда, по определению прямоугольника —
∡А = ∡В = ∡С = ∡D = 90°.
Рассмотрим ΔАВС — прямоугольный.
▸Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов◂
Следовательно —
Подставим в формулу известные нам численные значения —
24 (ед²).
a) K, L, M ∈ α; α║(SBC)
KL║BS; KM║BC; ML║CS как линии пересечения двух параллельных плоскостей с одной общей.
SH⊥(ABC); AT⊥BC; H∈AT как центр правильного треугольника лежащий на медиане. AH:HT=2:1 по свойству пересечения медиан.
LU⊥KM ⇒ KU=UM ⇒ U∈AT ⇒ LU⊂(AST) ⇒ LU∩SH
Рассмотрим плоскость AST.
LU║ST как линии пересечения двух параллельных плоскостей с (AST).
AK:KB=AL:LS=5:1 по теореме о пропорциональных отрезках.
AU:UT=AL:LS по теореме о пропорциональных отрезках.
Как уже известно AH:HT=2:1. Пусть AU=5x; UT=x ⇒AT=6x ⇒ AH=4x; HT=2x ⇒ HU=2x-x=x.
ΔSHT~ΔRHU по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).
Значит SH:RH=HT:HU=2:1. Пусть SH=2y; RH=y ⇒ SR=2y-y=y ⇒ SR=y=RH
То есть плоскость делит высоту пополам.
б) AT=AB*sin 60°=(15+3)*√3/2=9√3.
ΔAST~ΔALU по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).
Значит AL:AS=LU:ST=6:5.
HT=1/3 *9√3=3√3 т.к. AH:HT=2:1
SH=13 ⇒ ST=√(169+27)=14 ⇒ LU=5/6 *14=35/3.
ΔAKM~ΔABC по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).
Значит KM:BC=AK:AB=5:6 ⇒ KM=5/6 *18=15.
Как было указано в начале LU⊥KM ⇒ S=1/2* 15*35/3=175/2=87,5
ответ: 87,5.