Площадь треугольника ABC равна 54 см в квадрате. На стороне AB обозначили точки D и E так, что AD=DE=BE, а на стороне AC - точки M и N так, что AM=MN=NC. Найдите площадь четырехугольника BCNE.
Решение.
Т.к AD=DE=BE и AM=MN=NC , то 
ΔAEN~ ΔABC по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними : ∠А-общий, АЕ:АВ=AN:АС=2:3.
Коэффициент подобия к=2/3 .
Отношение площадей подобных треугольников равно к² ⇒
S(AEN):S(ABC)=4:9 или S(AEN):54=4:9 , S(AEN)=24 см²
S(BCNE)=S(ABC) -S(AEN)=54-24=30 ( см²).
Sbcne30см²
Объяснение:
Так как точки на обоих сторонах треугольника взяты так, что делят каждую сторону на равные части, то отрезки, соединяющие их будут параллельны стороне ВС и между собой, следуя обратной теореме Фалеса. Они также делят ∆АВС так, что отсекают от него 2 подобных ему треугольника: АДМ и АEN. Отрезки делят стороны АВ и АС на 3 равные части. Обозначим части 1/3, 2/3, 3/3, что указывает на их соотношение между собой. Соответственно соотношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
S∆АДМ/S∆АВС=(1/3)²;
S∆АЕN/S∆ABC=(2/3)². Пусть площадь ∆AEN=х, и зная площадь ∆АВС и соотношение площадей, составим уравнение:
S∆АЕN/S∆ABC=(2/3)²
x/54=4/9
9x=54×4
9x=216
x=216÷9
x=24 (см²) – это S∆AEN
Тогда Sbcne=S∆ABC–S∆AEN=54–24=30см²
Раз 3 стороны пар-ма равны, то по свойству все 4 стороны равны друг другу.
Если отрезок отложен от середин противоположных сторон, то он параллелен двум другим сторонам пар-ма, а значит равен одной из его сторон. Раз все стороны пар-ма равны, то его периметр равен 4'a'. Раз данный отрезок равен одной из сторон, то он равен 'a', а значит он равен четверти периметра пар-ма.