Если воспользоваться готовой формулой для радиуса вписанной в правильный тетраэдр сферы - то всё попроще. но попробуем обойтись без этой формулы. на первом рисунке изображён тетраэдр и сечение вписанной сферы плоскостью СРТ Низ красный, верх синий Примем сторону тетраэдра за 1. тогда в треугольнике АКР АР = 1/2 ∠РАК = 30° КР/АР = tg(30) = 1/√3 КР = 1/(2√3) КР/АК = sin(30°) АК = 2*КР = 1/√3 И так как К - точка пересечения медиан основания, то СК = АК = 1/√3 Переходим к ΔАРТ РТ²+АР² = АТ² РТ² + 1/4 = 1 РТ² = 3/4 РТ = √3/2 Переходим к ΔКРТ КТ²+1/(2√3)² = (√3/2)² КТ²+1/(4*3) = 3/4 КТ² = 3/4-1/12 = 9/12-1/12 = 8/12 = 2/3 КТ = √(2/3) - это высота пирамиды Пора искать радиус вписанной сферы ΔКРТ и ΔХОТ подобны - общий угол Т, по прямому углу и третий угол равен в силу того, что два равны и сумма углов треугольника 180° ОХ = ОК = r КР/ОХ = РТ/ОТ 1/(2√3)/r = √3/2/(√(2/3)-r) (√(2/3)-r)/(2√3) = √3/2*r √(2/3)-r = 2√3√3/2*r √(2/3)-r = 3r √(2/3) = 4r r = 1/(2√2√3) = 1/(2√6) Хорошо :) В правильный тетраэдр с единичным ребром можно вписать сферу радиуса 1/(2√6) Если радиус сферы R, то ребро тетраэдра будет a = 1/(1/(2√6)) = 2√6 площадь одной грани S₁ = 1/2*a²*sin(60°) = 2*6*√3/2 = 6√3 И полна плошадь тетраэдра в 4 раза больше S = 24√3
Построим SO пл. АВС. SA, SB, SC - наклонные, а рав ные наклонные имеют равные проекции, поэтому АО=ВО = СО; поэтому в пл. АВСАО = R,R- радиус описанной окружности. ΔАВС - правильный; про должим АО, СО и ВО до пересечения их со сторонами треугольника. (из свойств правильного треугольника). Соединим точки 5 и В, Ах и 5, С\ и 5. линейный угол двугранного угла SACB. линейный угол двугранного угла SABC. - линейный угол двугранного угла SBCA (по определению). ΔOB1S = ΔOC1S = ΔOA1S - по двум катетам (ОВ1 = ОС1 = ОА1 = r, r - радиус вписанной окружности в ΔABC, SO - общий катет), (из равенства треугольников). Раз все ребра тетраэдра равны, то доказанное выше справедливо и для всех двугранных углов. Поэтому все двугранные углы равны. Отыщем один из линейных углов двугранного угла, например, двугранного угла SBCA. Пусть а - ребро тетраэдра, то имеем ΔBSC: SA1 =а sin 60° ΔАВС: ОА1 ΔSA1O: cos φ φ - острый угол. Отсюда: φ = ответ: φ =
на первом рисунке изображён тетраэдр и сечение вписанной сферы плоскостью СРТ
Низ красный, верх синий
Примем сторону тетраэдра за 1. тогда в треугольнике АКР
АР = 1/2
∠РАК = 30°
КР/АР = tg(30) = 1/√3
КР = 1/(2√3)
КР/АК = sin(30°)
АК = 2*КР = 1/√3
И так как К - точка пересечения медиан основания, то
СК = АК = 1/√3
Переходим к ΔАРТ
РТ²+АР² = АТ²
РТ² + 1/4 = 1
РТ² = 3/4
РТ = √3/2
Переходим к ΔКРТ
КТ²+1/(2√3)² = (√3/2)²
КТ²+1/(4*3) = 3/4
КТ² = 3/4-1/12 = 9/12-1/12 = 8/12 = 2/3
КТ = √(2/3) - это высота пирамиды
Пора искать радиус вписанной сферы
ΔКРТ и ΔХОТ подобны - общий угол Т, по прямому углу и третий угол равен в силу того, что два равны и сумма углов треугольника 180°
ОХ = ОК = r
КР/ОХ = РТ/ОТ
1/(2√3)/r = √3/2/(√(2/3)-r)
(√(2/3)-r)/(2√3) = √3/2*r
√(2/3)-r = 2√3√3/2*r
√(2/3)-r = 3r
√(2/3) = 4r
r = 1/(2√2√3) = 1/(2√6)
Хорошо :)
В правильный тетраэдр с единичным ребром можно вписать сферу радиуса 1/(2√6)
Если радиус сферы R, то ребро тетраэдра будет a = 1/(1/(2√6)) = 2√6
площадь одной грани
S₁ = 1/2*a²*sin(60°) = 2*6*√3/2 = 6√3
И полна плошадь тетраэдра в 4 раза больше
S = 24√3