Question

Точки C и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Известно, что ABC=BAD. Докажите, что ACD=BDC

Answer 1

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать свойство, которое называется леммой о перпендикулярных биссектрисах.

Лемма о перпендикулярных биссектрисах:
Пусть точки A, B, C, D лежат на одной прямой, причем точки B и D расположены по разные стороны от точки A. Если AB=AD и ∠ABC = ∠ADC, то ∠CAD = ∠CBA.

Доказательство:
1) Дано: ABC = BAD (по условию)
2) AB = AD (задаными условиями)
3) ∠ABC = ∠ADC (по условию)

Необходимо доказать: ACD = BDC.

1) Проведем биссектрису угла BAC и обозначим точку пересечения с прямой CD как точку E.
2) Рассмотрим треугольник ABC и треугольник AED.

По лемме о перпендикулярных биссектрисах:
∠EAD = ∠BAC (так как AE – биссектриса угла BAC) (1)
∠EAD = ∠BAE (так как AE – биссектриса угла BAD) (2)

Из (1) и (2) следует:
∠BAE = ∠BAC

Таким образом, угол BAC равен углу BAE.

Из условия ABC = BAD и AB=AD следует:
∠BAC = ∠BAE = ∠DAE.

Получаем, что угол BAC равен углу DAE.

Рассмотрим треугольник ADC и треугольник DCE:

∠ECD = ∠ACD (так как CE – биссектриса угла ACD) (3)
∠ECD = ∠EDC (так как CE – биссектриса угла ADC) (4)

Из (3) и (4) следует:
∠ACD = ∠EDC

Из условия ABC = BAD и AB=AD следует:
∠ACD = ∠EDC = ∠BCD.

Таким образом, угол ACD равен углу BCD.

Из равенства ∠ACD = ∠BCD следует, что ACD = BDC.

Таким образом, мы доказали, что если точки C и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB и известно, что ABC=BAD, то ACD=BDC.