Question

1) дан правильный восьмиугольник. докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный восьмиугольник. 2) прямая аd перпендикулярная медиане bm треугольника abc делит её пополам.найдите сторону ac если сторона ab равна 4. 3) дан правильный восьмиугольник. докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну то получится квадрат. 4) в трапеции abcd основание ad вдвое больше основания bc и вдвое больше боковой стороны cd. угол adc равен 60 градусов,сторона ab равна 2. найдите площадь трапеции. .

Answer 1

1) Треугольники вне восьмиугольника равны по двум сторонам и углу между ними(по свойству правильного многоугольника), значит стороны вписанного многоугольника равны, а т.к. его стороны равны, то это правильный восьмиугольник.

2)В треугольнике АВМ:АД-высота(т.к.угол АДМ=90), также АД является медианой этого треугольника(ВД=МД по условию) из этого следует, что треугольник АВМ-равнобедренный. Тогда АВ=АМ=4. И т.к. АМ=МС, АС=АМ+МС=4+4=8.

3)Треугольники вне восьмиугольника равны по двум сторонам и углу между ними(по свойству правильного многоугольника), значит стороны вписанного четырехугольника равны, и это значит, что это четырехугольник-ромб, т.к. диагонали правильного восьмиугольника равны, то и в ромбе диагонали равны, из чего следует, что это квадрат.

4)Обозначим СД=х.Проведем высоты ВН1 и СН2, угол ДСН2=90-60=30. Тогда ДН2=1/2 СД=х/2. Т.к. АД=2х, то АН1=2х-х-х/2=х/2, из этого следует, что трапеция равнобедренная, а значит СД=2. Тогда АД=2СД=2*2=4. СН2=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$ . S=СН2*АД=корень из 3*4=4 корня из 3