Найдем, как связаны радиусы вписанных окружностей.
Пусть сторона правильного треугольника равна a.
Сначала нужно найти длину отрезка AD. Проще всего это сделать по теореме косинусов.
Посмотрим на треугольник ABD. В нем BD = 7/15 a, AB = a, угол B = 60 градусов.
Тогда 
,
AD = 13/15 a
Периметр треугольника ACD = a + 8/15 a + 13/15 a = 36/15 a, треугольника ABD = a + 7/15 a + 13/15 a = 35/15 a.
С одной стороны, площадь треугольника - половина прооизведения высоты на сторону, с другой - половина произведения периметра на радиус списанной окружности. Если считать по первой формуле, получим, что S1/S2 = CD/DB = 8/7 (здесь индекс 1 соответствует треугольнику ACD). По второй: S1/S2 = (36*r1)/(35*r2).
Итак, 
Площади кругов пропорциональны квадратам радиусов, поэтому площади относятся как 100 к 81.
Есдиственный вопрос, площадь какого из кругов дана. Отсюда и 2 ответа: 81*100/81=100 или 81*81/100=65.61
ответ: 100 или 65,61.
Треугольник ba1c1 - равносторонний, все углы в нем 60 градусов.
Это все решение (причем самое полное и точное из всех). Но можно не останавливаться на достигнутом, и соединить вершины этого треугольника с вершиной куба d. Получается пирамида, у которой все грани - равносторонние треугольники. То есть получился тетраэдр (или, если хотите, правильный тераэдр, хотя это уточнение и лишнее - тетраэдром называют именно правильную треугольную пирамиду с равными ребрами), вписаный в куб. Конечно же, можно и наоборот - для любого тетраэдра можно построить такой куб, что ребра тетраэдра будут диагоналями граней куба.
Следствия.
Во первых, скрещивающиеся ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны (в данном случае, к примеру, bd перпендикулярно a1c1, поскольку a1c1 II ac, а ac и bd - диагонали квадрата abcd, точно также доказывается перпендикулярность остальных пар скрещивающихся ребер тетраэдра).
Во вторых, отрезок, соединяющий середины скрещивающихся ребер тетраэдра, перпендикулярен этим ребрам и равен длине ребра тетраэдра, умноженной на √2/2. В самом деле, это отрезок, соединяющий центры противоположных граней куба, то есть он равен стороне куба, а ребро тетраэдра равно диагонали грани куба, откуда и получатеся соотношение длин.
Конечно, к задаче это имеет косвенное отношение (точнее, не имеет ни какого), но уж больно неприятно выдавать решение, занимающее полстрочки.