Діагоналі АС і ВД трапеції АВСД (ВС||АД) перетинаються в точці F. На відрізках AD i DF позначили точки Р і М відповідно так, що АР:PD=9:2, DM:MF=1:2. Відомо, що ВС:АD=4:5. Доведіть, що точки С, М і Р лежать на одній прямій.
1) ΔАВС: ∠А=α, ∠С=2α, ∠В=180°-3α; 2) ΔADC: ∠A=α, ∠C=α, ∠D=180°-2α, значит ΔADC - равнобедренный, AD=DC. 3) Так как отрезок CD - биссектриса, то можно применить следующее свойство биссектрисы: AC:BC=AD:DB, по условию задачи DB:BC=1:2, значит DB=x, BC=2x. 6:2х=AD:x; AD=6x/2x=3 (см). AD=DC=3 см, АС=6 см - по условию. Получили треугольник со сторонами 3 см, 3 см и 6 см, но такого треугольника не существует, так как любая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон (неравенство треугольника), а в этой задаче получилось, что одна из сторон равна сумме двух других (3+3=6). Это противоречие. Поэтому задача с таким условием не имеет решения. ответ: нет решения.
Решение: 1. Найдем катеты прямоугольного треугольника. Пусть x - 1 часть. Тогда 3х - 1 катет, 4х - второй катет. Решая уравнение по т. Пифагора, получим: 9x^2+16x^2=2500 25x^2=2500 x^2=100 x=-+10
-10 мы значение не берем по смыслу. Значит, x=10. Тогда 3х = 3*10 = 30(мм) 4х = 4*10 = 40(мм). 2. Если катет есть среднее пропорциональное для отрезка, делящаяся высотой, проведенной из вершины угла, и гипотенузы, то выразим сам этот отрезок: ac=a^2\c a - катет с - гипотенуза a с индексом с - отрезок. ac=900\50=18 А второй отрезок можем найти разностью между гипотенузой и этим отрезком: 50-18=32(мм). ответ: 18 и 32 мм
2) ΔADC: ∠A=α, ∠C=α, ∠D=180°-2α, значит
ΔADC - равнобедренный, AD=DC.
3) Так как отрезок CD - биссектриса, то можно применить следующее свойство биссектрисы: AC:BC=AD:DB,
по условию задачи DB:BC=1:2, значит DB=x, BC=2x.
6:2х=AD:x;
AD=6x/2x=3 (см).
AD=DC=3 см, АС=6 см - по условию.
Получили треугольник со сторонами 3 см, 3 см и 6 см, но такого треугольника не существует, так как любая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон (неравенство треугольника), а в этой задаче получилось, что одна из сторон равна сумме двух других (3+3=6). Это противоречие. Поэтому задача с таким условием не имеет решения.
ответ: нет решения.