Question

Дано: правильную треугольную пирамидуу которой все стороны 11 см. нужно найти: 1)площадь( s ) 2)объем( v ) 3) площадь боковой поверхности (sб.п.) 4)площадь полной поверхности( sп.п.) сделайте

Answer 1

Площадь правильного треугольника находится по формуле

$S_\Delta=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$,

где a - длина стороны треугольника

Площадь любой из граней пирамиды равна

$S_\Delta=\frac{11^2\sqrt{3}}{4}$

или

1) $S_\Delta=\frac{121\sqrt{3}}{4}$

Площадь боковой поверхности равна сумме трех площадей правильного треугольника со стороной 11 см.

$S_{bokovoy}=\frac{121*3\sqrt{3}}{4}$

3) $S_{bokovoy}=\frac{363\sqrt{3}}{4}$

4) Площадь полной поверхности равна сумме четырех площадей правильного треугольника со стороной 11 см.

$S_{polnoy\,poverhnosti}=\frac{121*4\sqrt{3}}{4}$

или

$S_{polnoy\,poverhnosti}=121\sqrt{3}}$

2) Объем найти сложнее. Нужна высота пирамиды.

Высоту можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды (это катет), Стороной (боковой гранью) пирамиды (гипотенуза) и частью высоты треугольника, лежащего в основании пирамиды (второй катет). Такой треугольник будет прямоугольным, так как высота перпендикулярна всей плоскости основания пирамиды (в том числе и отрезку, соединеящему основание высоты и боковую грань-как раз второй катет.). Нам нужно найти второй катет. Высота пирамиды падает на центр и вписанной и описанной окружности. Так как пирамида правильная. Это будет пересечение биссектрис или серединных перпендикуляров. В правильном треугольнике точка пересечения биссектрис совпадает с точкой пересечения медиан. А медианы в точке пересечения делятся в отношении 2 к 1 считая от вершины. Значит длина второго катета равна 2/3 высоты правильного треугольника со стороной 11 см. Высота правильного треугольника равна по формуле

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

В данном случае

$h=\frac{11\sqrt{3}}{2}$

2/3 от этой высоты равна

$h=\frac{11\sqrt{3}}{2}*\frac{2}{3}$

$h=\frac{11\sqrt{3}}{3}$

По теореме Пифагора найдем первый катет в прямоугольном треугольнике

$H^2=11^2-h^2$

$H^2=121-\frac{11^2}{3}$

$H^2=121*\frac{2}{3}$

$H=121*\sqrt{\frac{2}{3}}$

Объем пирамиды находим по известной формуле

$V=\frac{1}{3}*S_{osnovanija}*H$

$V=\frac{1}{3}*121*\frac{\sqrt{3}}{4}*121*\sqrt{\frac{2}{3}}$

$V=\frac{14641\sqrt{2}}{12}$